Архивы за Март, 2016

1. ГРУППОВОЕ ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ Т — РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

0

 

Кравчик Ю.С.

Аннотация Рассмотрены групповые свойства и представление Т – полей составляющими комплексных  функций. Приведены примеры получения собственных функций для поперечно – однородных структур.

Abstract Group properties and performance Т — fields component complex functions surveyed. Examples of deriving of eidenfunctions for transversally — the homogeneous structures are reduced.

В настоящее время в электродинамике существует проблема точного аналитического расчета электромагнитных структур, дающего возможность анализа их свойств с целью улучшения их эксплуатационных и технических характеристик.

Существует несколько методов получения точных решений однородной системы уравнений Максвелла. Среди них – метод разделения переменных [1], использующий преобразование системы координат. Известен метод электростатической аналогии, позволяющий получать решения в виде Т-полей для 2- и более связанных структур с применением теории функций комплексного переменного. Его использование основано на электростатической аналогии и тождественности описывающих их решения уравнений – двумерного уравнения Лапласа [2]. Применение функций комплексного переменного позволяет решить ряд 3- мерных задач [3] переходом к специально выбранным системам координат.

Эти точные методы ограничены в возможностях. Один из путей увеличения числа точных решений – использование групповых преобразований, переводящих одно решение в другое. Это актуально, например, для точного определения электромагнитного поля вблизи идеально проводящих одно-связанных поверхностей,  как в прямых, так и в обратных задачах электродинамики, что позволяет оптимизировать технические параметры электромагнитных систем.  Известны группы системы уравнений Максвелла, например, — непрерывная 17-параметрическая группа [4], группа перехода между листами малой и большой переменной [5]. Но их недостаток – малое число операторов, которые они позволяют использовать. Поэтому цель данной работы – предложить группу 2- мерного преобразования для Т— полей с более богатым множеством допустимых операторов.

ГРУППОВОЕ СВОЙСТВО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ  КОМПЛЕКСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ  НАД Т-ПОЛЯМИ

Знание групповых свойств позволяет определить класс функций, являющихся решением системы уравнений Максвелла. Преобразование одного решения в другое с помощью групповой операции позволяет получать множество других решений. Определим групповую операцию и подмножество решений, на  котором эта операция действует.

Группа преобразований [6] должна удовлетворять следующим условиям.

  • Преобразование должно быть замкнутым, т.е. переводить одно решение в другое.
  • Группа преобразований должна содержать тождественное преобразование.
  • Вместе с преобразованием должно существовать и обратное ему.
  • Композиция преобразований должна переводить одно решение в другое.

Будем рассматривать  преобразования, определяемые составляющими функции комплексного переменного

(1):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  x=\phi ({x}',{y}'), \\   y=\psi ({x}',{y}'), \\   \end{array}} \right. \]

где: x′ и  y′ — новые переменные, φ и  ψ— составляющие комплексной функции, удовлетворяющие условиям Коши – Римана  [7]:

(2):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \frac{\partial \phi }{\partial x}=\frac{\partial \psi }{\partial y}, \\   \frac{\partial \phi }{\partial y}=-\frac{\partial \psi }{\partial x}, \\   \end{array}} \right. \]

Покажем, что описанные преобразования над  подмножеством решений Т — полей системы уравнений Максвелла образуют  группу преобразований. Проверим свойство 1 группового преобразования —  замкнутость преобразования (1).

Пусть составляющие решения Т — поля имеют следующие компоненты электрического и магнитного полей EX, EY, HX  и HY.  Следующие  уравнения системы уравнений Максвелла с этими компонентами имеют следующий вид:

(3):

(4):

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial E_{Y} }{\partial z}=\mu \mu_{0} \frac{\partial H_{X}  }{\partial t}, \\   \frac{\partial E_{X} }{\partial z}=-\mu \mu_{0} \frac{\partial H_{Y}  }{\partial t}. \\   \end{array} \]

Где: EX, EY, HX, HYнапряженности электрического и магнитного полей по соответствующим координатам, μ  и μ0  определяют магнитную проницаемость среды.

Как видно, уравнения (3) и (4) при преобразованиях, удовлетворяющих условиям Коши – Римана (2) не изменятся, т.к. не затрагивают их переменных.

Составляющие следующего уравнения из системы уравнений Максвелла:

(5)

    \[ \frac{\partial E_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial E_{X} }{\partial y}=0 \]

изменятся преобразованием (1) следующим образом:

(6):

    \[ \frac{\partial E_{Y} }{\partial {x}'}=\frac{\partial E_{Y} }{\partial  x}\frac{\partial \phi }{\partial {x}'}+\frac{\partial E_{Y} }{\partial  y}\frac{\partial \psi }{\partial {x}'}, \]

(7):

    \[ -\frac{\partial E_{X} }{\partial {y}'}=-\frac{\partial E_{X} }{\partial  x}\frac{\partial \phi }{\partial {y}'}-\frac{\partial E_{X} }{\partial  y}\frac{\partial \psi }{\partial {y}'}. \]

С учетом условий Коши – Римана (1) уравнение (5) примет вид:

(8):

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial E_{Y} }{\partial {x}'}-\frac{\partial Ex}{\partial {y}'}= \\   =\left( {\frac{\partial E_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial E_{X} }{\partial  y}} \right)\frac{\partial \phi }{\partial {x}'}+ \\   +\left( {\frac{\partial E_{Y} }{\partial y}+\frac{\partial E_{X} }{\partial  x}} \right)\frac{\partial \psi }{\partial {x}'} \\   \end{array} \]

и с учетом уравнения второй пары уравнений Максвелла

(9):

    \[ \frac{\partial E_{X} }{\partial x}+\frac{\partial E_{Y} }{\partial y}=0 \]

сохраняется.

Остальные уравнения, как можно проверить, так же будут выполнены  при преобразованиях (1).  Следовательно,  преобразование  (1) переводит решение системы уравнений Максвелла в решение.

Тождественное преобразование составляет единичное преобразование, и второе условие выполнено.

Преобразования (1), определяющие дифференцируемую функцию комплексного переменного, обратимы  [7] и третье условие выполнено.

Композиция преобразований,

    \[ ({\phi }''({\phi }',{\psi }'),{\psi }''({\phi }',{\psi }')) \]

определяется сложной комплексной функцией, которая так же удовлетворяет условиям Коши – Римана, если компоненты сложной комплексной функции

    \[ ({\phi }',{\psi }')\mbox{\, ,\, }({\phi }',{\psi }') \]

удовлетворяют тем же условиям [7]. Следовательно, четвертое условие так же выполнено.

Следовательно, преобразование (1) образует группу над подмножеством решений Т – полей  системы уравнений Максвелла  из составляющих EX, EY, HX  и HY.  Поэтому  для нахождения  решения  достаточно иметь хотя бы одно решение и тогда из него можно получить бесконечное множество других решений.

Смысл преобразований, задаваемых преобразованиями (1) можно трактовать как преобразование области на область [7], в отличие от преобразований системы координат [8,9]. Различие этих трактовок состоит в том, что преобразование системы координат ведет к появлению коэффициентов Ламэ, с которыми связаны трудности решения системы уравнений Максвелла. Коэффициенты Ламэ являются функциями точки пространства, поэтому разделение переменных возможно только в ограниченном числе простых случаев.  Преобразование области на область рассматриваются в декартовой системе координат, и коэффициенты Ламэ всегда равны единице. Это существенно упрощает получение решений системы уравнений Максвелла.

Назовем группу, действующую на Т – полях, групповая операция которой определяется компонентами комплексной функции, группой преобразований Т – полей.

В качестве исходного решения для преобразования (1) в общем случае может быть выбрано не только решение в виде Т-волн, но и решение, имеющее составляющую электрического и (или) магнитного поля  вдоль z – координаты. В этом случае уравнения Максвелла, связывающие z – компоненту при преобразованиях (1) становятся противоречивыми между собой для этой компоненты. Их совместное решение возможно только при тождественном равенстве нулю составляющих поля вдоль координаты z. Это утверждение  может быть проверено непосредственно. Поэтому использование комплексных преобразований продуктивно только для Т – полей.

ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Т-ПОЛЕЙ СОСТАВЛЯЮЩИМИ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИИЙ

Покажем, что любое Т – поле, являющееся решением системы Уравнений Максвелла, представляется некоторой функцией комплексного переменного. Такое представление позволяет использовать  все известные свойства теории функций комплексного переменного для изучения свойств Т – полей и получения новых решений.

Здесь будет использована форма представления системы уравнений Максвелла в системе единиц Хэвисайда, в которой магнитная и электрическая проницаемости среды равны единице: ε=μ=1 [10].

Выпишем однородные уравнения Максвелла с учетом составляющих только по x и  y [1,2]:

(9-16):

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial E_{Y} }{\partial z}=\frac{\partial H_{X} }{\partial  t},\mbox{\, \, \, } \\   -\frac{\partial H_{Y} }{\partial z}=\frac{\partial E_{X} }{\partial  t},\mbox{\, \, } \\   \end{array} \]

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial H_{X} }{\partial z}=\frac{\partial E_{Y} }{\partial t}, \\   \frac{\partial E_{X} }{\partial z}=-\frac{\partial H_{Y} }{\partial t}, \\   \frac{\partial E_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial E_{X} }{\partial  y}=0,\mbox{\, } \\   \frac{\partial E_{X} }{\partial x}+\frac{\partial E_{Y} }{\partial  y}=0,\mbox{\, \, } \\   \end{array} \]

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial H_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial H_{X} }{\partial y}=0, \\   \frac{\partial H_{X} }{\partial x}+\frac{\partial H_{Y} }{\partial y}=0. \\   \end{array} \]

Из уравнений (9) – (16) видно, что  возможно разделение переменных – в уравнения (9) – (12) входят  производные  только по z и  t, а в уравнения (13) – (16) – производные по x и  y. Следовательно, составляющие решения системы уравнений (9) – (16) можно представить в виде произведения из двух функций, одна из которых зависит только от x и  y, а другая – от z и  t [11].

Составляющие Т-полей электромагнитного поля могут быть представлены  одним из двух следующих вариантов:

(17):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  E_{X} =E_{X0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   E_{Y} =E_{Y0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{X} =H_{X0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{Y} =-H_{Y0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   \end{array}} \right. \]

(18):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  E_{X} =E_{X0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   E_{Y} =-E_{Y0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{X} =-H_{X0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{Y} =-H_{Y0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   \end{array}} \right. \]

где: φ и Ψ- пара функций, составляющая комплексную функцию и удовлетворяющая условиям Коши – Римана (2); F – произвольная действительная, непрерывная, дифференцируемая и конечная функция, nZ  и  nt – действительные коэффициенты, EX0, EY0, HX0  и HY0  — действительные амплитудные множители.

Для проверки этого утверждения достаточно проверить выполнение  уравнений системы уравнений Максвелла (9) – (16)  для составляющих поля (17) или (18):

(19):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  n_{Z} E_{Y0} \phi {F}'=n_{t} H_{X0} \phi {F}', \\   n_{Z} H_{X0} \phi {F}'=n_{t} E_{Y0} \phi {F}', \\   n_{Z} H_{Y0} \psi {F}'=n_{t} E_{X0} \psi {F}', \\   n_{Z} E_{X0} \psi {F}'=n_{t} H_{Y0} {F}', \\   E_{Y0} {\phi }'_{X} F-E_{X0} {\psi }'_{Y} F=0, \\   H_{Y0} {\psi }'_{X} F+H_{X0} {\phi }'_{Y} F=0, \\   E_{X0} {\psi }'_{X} F+E_{Y0} {\phi }'_{Y} F=0, \\   H_{X0} {\phi }'_{X} F-H_{Y0} {\psi }'_{Y} F=0. \\   \end{array}} \right. \]

(20):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  n_{Z} E_{Y0} \psi {F}'=n_{t} H_{X0} \psi {F}', \\   n_{Z} H_{X0} \psi {F}'=n_{t} E_{Y0} \psi {F}', \\   n_{Z} H_{Y0} \phi {F}'=n_{Z} E_{X0} \phi {F}', \\   n_{Z} E_{X0} \phi {F}'=n_{t} \phi H_{Y0} {F}', \\   E_{Y0} {\psi }'_{X} F+E_{X0} {\phi }'_{Y} F=0, \\   -H_{Y0} {\phi }'_{X} F+H_{X0} {\psi }'_{Y} F=0, \\   E_{X0} {\phi }'_{X} F-E_{Y0} {\psi }'_{Y} F=0, \\   H_{X0} {\psi }'_{X} F+H_{Y0} {\phi }'_{Y} F=0. \\   \end{array}} \right. \]

Из соотношений (19) или (20) с учетом условий Коши – Римана (2) можно получить соотношения для действительных коэффициентов в выражениях (17) или (18):

(21):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  E_{X0} =H_{Y0} ,E_{Y0} =H_{X0} , \\   n_{Z} =n_{t} \\   \end{array}} \right. \]

Составляющие электрического и магнитного полей представим в виде  составляющих векторов комплексной дифференцируемой функции в следующем виде соответственно для представления (17) и (18):

(22):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \overline E =E_{Y} +i\cdot E_{X} =E_{0} (\phi +i\cdot \psi )F, \\   \overline H =H_{Y} +i\cdot H_{X} =H_{0} (-\psi +i\cdot \phi )F. \\   \end{array}} \right. \]

(23):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \overline E =E_{X} +i\cdot E_{Y} =E_{0} (\phi -i\cdot \psi )F, \\   \overline H =H_{X} +i\cdot H_{Y} =H_{0} (-\psi -i\cdot \phi )F. \\   \end{array}} \right.\mbox{\, \, } \]

Где: E0=H0действительные амплитудные множители.

Вектора электрических и магнитных составляющих Т — полей ортогональны между собой и связаны следующими соотношениями  соответственно для представления (17) и (18), и (22) и (23):

(24-25):

    \[ i\cdot \overline E =\overline H ,{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, }-i\cdot \overline E =\overline H .}  \hfill \\ \end{array} } \]

Следовательно, любая дифференцируемая комплексная функция, удовлетворяющая условиям Коши – Римана (2), представляет некоторое переменное электромагнитное Т — поле по представлениям (17) или (18). Верно и обратное утверждение: любое переменное электромагнитное Т —  поле может быть представлено составляющими комплексной дифференцируемой функции, удовлетворяющей условиям Коши – Римана. При этом электрическое поле представляется как векторное поле, а магнитное поле – векторное поле, ему ортогональное. Это представление позволяет получать новые решения системы уравнений Максвелла в виде Т – полей и исследовать их свойства.

 

2. ГРУППОВОЕ ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ Т — РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

0

2. ЭТАПЫ ПОЛУЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ

Получение решений системы уравнений Максвелла, с использованием рассмотренных свойств, представим в виде следующих шагов.

  1. Выбираем некоторое известное решение.
  2. С помощью преобразования получаем другое решение. Преобразование выбираем из множества преобразований, переводящих одно решение в другое, т.е. из группы системы уравнений Максвелла. Как показано выше, такими преобразованиями являются дифференцируемые комплексные функции для Т-полей. В качестве преобразования может быть так же выбран член 17–параметрической непрерывной группы Ли [4] системы уравнений Максвелла.
  3. Для этого решения по известным методам строим семейство силовых линий магнитного и электрического полей для выбранного момента времени.
  4. Строим поверхность, для которой векторы магнитного поля будут касательными. Для такой поверхности силовые линии магнитного поля будут сечениями координатными поверхностями. Построенная так поверхность может быть заменена идеально проводящей поверхностью. Если положение этой поверхности не меняется с течением времени, то выбранное решение будет решением граничной задачи для построенной поверхности – силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны магнитным. Для одного решения может быть построено несколько вариантов таких поверхностей, следовательно, тогда выбранное решение будет решением для семейства граничных задач. Построенную так поверхность назовем поверхностью выполненных граничных условий. Преобразования с использованием комплексных функций хорошо изучены [7] и могут быть использованы для нахождения их собственных функций и поверхностей. Возможен и обратный путь – нахождение собственного решения для заданного профиля. В данной работе рассматривается первый вариант – нахождение собственной функции и ее семейства поверхностей с выполненными граничными условиями по выбранному преобразованию.

Рассмотрим применение этого подхода на следующих примерах.

ПРИМЕРЫ ПОЛУЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОТОБРАЖЕНИЕМ ОБЛАСТИ НА ОБЛАСТЬ

В соответствии с п.1 выбираем известное решение – плоскую однородную волну [1,2] в следующем представлении при EX0=HY0=0 в (21), (22):

(26):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \overline E =E_{Y0} \cdot F(z,t), \\   \overline H =i\cdot H_{X0} \cdot F(z,t). \\   \end{array}} \right.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill & {(26)} \hfill \\ \end{array} } \]

Семейство поверхностей выполненных граничных условий для плоской волны (26) является семейством плоскостей, перпендикулярных плоскости (x,y). 

В соответствии с п. 2, в качестве примера преобразования выбираем функцию, отображающую верхнюю полуплоскость на  плоскость с полосой высотой h, установленной вдоль оси z [7]:

(27):

    \[ \phi +i\cdot \psi =\sqrt {(n{x}'-i\cdot n{y}')^{2}-h^{2}}  .{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill & {(27)} \hfill \\ \end{array} } \]

В (27) n и h – действительные параметры.

Но функция (27) не  может быть разложена  на сумму действительной и мнимой составляющей рационально. Поэтому разложим функцию (27) в ряд Тейлора. Ограничиваясь тремя первыми членами и разделяя действительную и мнимую составляющие, получим следующее выражение:

(28):

    \[ \begin{array}{l}  \phi +i\cdot \psi \approx \\   \approx  \frac{1}{16h^{3}}(16h^{2}n^{2}{x}'{y}'+8n^{4}{x}'^{3}{y}'-8n^{4}{x}'{y}'^{3})-  \\   -i\cdot \frac{1}{16h^{3}}(16h^{4}-8h^{2}n^{2}{x}'^{2}+8h^{2}n^{2}{y}'^{2}-  \\   -2n^{4}{x}'^{4}+12n^{4}{x}'^{2}{y}'^{2}-2n^{4}{y}'^{4}).\mbox{\, \, } \\   \end{array} \]

Составляющие комплексной функции (27) входят в выражения (17) или (18) и совместно с ними определяют решение в виде Т – волны.

Построим силовые линии электромагнитного поля, лежащие в плоскости  (x,y). Для этого возведем обе части выражения (27) в квадрат, раскроем скобки. Приравняем между собой действительные и мнимые составляющие. Получим следующую систему уравнений:

(29):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \phi^{2}-\psi^{2}=n^{2}{x}'^{2}-n^{2}{y}'^{2}-h^{2}, \\   \phi \psi =n^{2}{x}'{y}'. \\   \end{array}} \right. \]

Для вывода уравнения силовых линий магнитного поля из второго уравнения системы (29) найдем x′ и результат подставим в первое уравнение системы (29). Полученное уравнение решим относительно φ:

(30):

    \[ \phi (\psi )=\sqrt {\frac{n^{2}\psi  ^{2}{y}'^{2}+n^{2}{y}'^{2}+h^{2}n^{2}{y}'^{2}}{n^{2}{y}'^{2}+\psi^{2}}.}  \]

Выражение (30) ψ(φ)  определяет семейство силовых линий магнитного поля при различных значениях параметра  y′.

Для вывода уравнения силовых линий электрического поля найдем y′ из второго уравнения системы (29) и результат подставим в первое уравнение системы (29). Полученное уравнение решим относительно φ:

(31):

    \[ \phi (\psi )=\sqrt {\frac{n^{4}{x}'^{4}-n^{2}{x}'^{2}h^{2}-\psi  ^{2}n^{2}{x}'^{2}}{\psi^{2}-n^{2}{x}'^{2}}} . \]

Выражение (31) ψ(φ) определяет семейство силовых линий электрического поля при различных значениях параметра x′. Графики семейства функций (30) и (31) показаны на рисунке 1. На рисунке 1 представлено сечение электромагнитного поля Т-волны  плоскостью (x,y). Пунктирными линиями обозначены силовые линии магнитного поля, сплошными – силовые линии электрического поля. В соответствии с п. 5, пунктирные линии являются сечениями семейства поверхностей выполненных граничных условий.

Одно ребро. Рис. 1

РИСУНОК 1.

Другой пример – функция, отображающая полупространство, ограниченное проводящей плоскостью, на полупространство, ограниченное проводящей плоскостью и установленной на ней решеткой из  полос одинаковой высоты с равным шагом   на плоскость [7]:

(32):

    \[ \phi +i\cdot \psi =\arccos (a\cos (n{x}'-i\cdot n{y}')). \]

В (32) a определяет высоту полос. Функция (32) так же не может быть представлена рационально в виде суммы действительных и мнимых составляющих. Поэтому для разложения на действительную и мнимую части разложим функцию (32) в функциональный ряд Тейлора и ограничимся тремя первыми членами:

(33):

    \[ \begin{array}{l}  \phi +i\cdot \psi \approx a\sin (nx)ch(ny)+ \\   +\frac{1}{6}a^{3}\sin^{3}(nx)ch^{3}(ny)- \\   -\frac{1}{2}a^{3}\sin (nx)ch(ny)\cos^{2}(nx)sh^{2}(ny)+ \\   +i\cdot [(-a)\cos (nx)sh(ny)- \\   -\frac{1}{2}a^{3}\sin^{2}(nx)ch^{2}(ny)\cos (nx)sh(ny)+ \\   +\frac{1}{6}a^{3}\cos^{3}(nx)sh^{3}(ny)]. \\   \end{array} \]

Так же как и (28),  составляющие комплексной функции (33) входят в выражения (17) или (18) и совместно с ними определяют решение в виде Т – волны.

Уже в этом случае аналитическое построение силовых линий вызывает трудности и требует применения вычислительных методов для выполнения п. 5, т.к. уравнение (32) является трансцендентным. На рисунке 2 представлено поле векторов магнитного поля в плоскости (x,y).    Электрическая компонента может быть получена в каждой точке плоскости сечения поворотом вектора магнитного поля на 90° по часовой стрелке,  либо против,  в соответствии с (24) или (25). Этот рисунок получен численным методом на основе разложения в ряд (33). Представление силовых линий электрического и магнитного поля так же может быть получено численными методами.

Решетка поперечных полос. Рис. 2

РИСУНОК 2.

Подобная задача рассматривалась, например, в работах [1,12], в которых решение получают путем сопряжения частных решений отдельных подобластей, на которые разделяют всю область решения. Недостаток такого подхода состоит в том, что должно быть непрерывно не только решение, но и все его первые частные производные. Но выполнение этих условий в полном объеме невозможно, т. к. система условий становится избыточной в областях сопряжения. Предлагаемый подход позволяет получить  решение с произвольной точностью. Действительно, остаточный член, определяющий ошибку представления ряда Тейлора,  в форме Коши [13]:

(34):

    \[ \begin{array}{l}  R_{n+1} (x+i\cdot y)= \\   =\frac{(x+i\cdot y)^{n+1}(1-\theta )^{n}}{n!}\times \\   \times (\phi +i\cdot \psi )^{(n+1)}(\theta \cdot (x+i\cdot y)), \\   \end{array} \]

где: Rn+1 – остаточный член, 0‹θ‹1- действительный параметр.

Компоненты φ и ψ конечны, и при выборе n достаточно большим, можно получить ошибку представления  Rn+1 сколь угодно малой.

Из имеющихся преобразований (28) и (33) с помощью операций теории функций комплексного переменного  могут быть получены и другие решения, описывающие электромагнитные  Т – поля. Данная работа является продолжением работы [14].

В заключение заметим, что представленный путь получения решений системы уравнений Максвелла позволяет получать и исследовать решения в конечном виде для широкого класса одно-связанных поперечно-однородных структур.

Рисунок 2 выполнил Кравчик Ю.Ю. с использованием специализированного оригинального программного обеспечения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  • Никольский Н.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978. – 543 с.
  • Вольман В.И., Пименов Ю.В. Техническая электродинамика. – М.: Связь, 1971. – 487с.
  • Князь А.И. Комплексные потенциалы трехмерных электрических и магнитных полей. – Киев – Одесса: Вища школа, !981. – 120 с.
  • Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 400с.
  • Кравчик Ю.С. Обобщение комплексных чисел и их применение в электродинамике // Праці УНДІРТ. – 2003. — №4(36).
  • Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. – М.: Наука, 1986. – 495с.
  • Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1982. – 488 с.
  • Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1977. – 504с.
  • Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. – Харьков.: Изд. Харьковского университета, 1972. –255с.
  1. Лифшиц М.С. Операторы, колебания, волны. Открытые системы. – М.: Наука, 1966. – 298с.
  2. Броль де Луи. Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах. – М.: Иностранная литература, 1948. — 108c.
  3. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. – М.: Изд. иностранной литературы, 1959. – 424с.
  4. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1.- М.: Наука, 1982. – 616с.
  5. Кравчик Ю.С. Нахождение решений  системы уравнений Максвела с использованием двумерных преобразований // Наукові праці УДАЗ ім. О.С. Попова.

 

 

1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАД ЧИСЛАМИ М

0

КРАВЧИК Ю.С. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАД ЧИСЛАМИ М pdf   

   Аннотация.  Представлено интегрирование над числами М и аналог преобразования Фурье.

      Summary. Integration above numbers of M and analogue of transformation Fourier is submitted.

 

В настоящее время актуальна проблема получения аналитических решений системы уравнений Максвелла. Такие решения необходимы для расчета и анализа электромагнитных резонаторов, направляющих систем и пространственных полей в радиотехнике и телекоммуникации.

Для получения решений системы уравнений Максвелла наибольшее распространение получили символический метод [1] и его обобщения – обобщенный символический метод [2] и многомерный символический метод [3], а так же теория дифференциальных уравнений [4]. Их использование ограничено определенным классом функций, в котором находится решение, либо математическими трудностями, связанными с необходимостью разделения переменных.  Во многих практически важных случаях такие методы не дают аналитического решения.  Теория функций комплексной переменной [5] адекватно описывает плоские стационарные электрические и магнитные поля.   Возможность использования одного из вариантов расширения комплексных чисел – чисел М в электродинамике Максвелла показана  в [6]. В [6] описаны числа М, их арифметика – сложение, вычитание, умножение и деление, а так же дифференцирование функций над числами М. Однако не была рассмотрена обратная операция — интегрирование. Поэтому целью данной работы является показать возможность  введения интегрирования для функций над числами М. В дальнейшем будут использованы обозначения и  понятия, введенные в [6].

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

     Интегрирование для функций над числами М по некоторой кривой γ определим следующим образом.

Определим кривую на листе малой переменной следующим образом. Пусть на отрезке действительной оси

    \[ \delta \le r\le \chi  \]

задана функция λ=λ(r), принимающая значения на листе малой переменной

    \[ \lambda =i\cdot x(r)+j\cdot y(r)+k\cdot z(r)+I\cdot t(r). \]

Здесь x(r), y(r), z(r) и t(r) –действительные непрерывные дифференцируемые функции. Аналогично определим кривую как однопараметрическую функцию со значениями на листе большой переменной

    \[ \Lambda =Ii\cdot X(r)+Ij\cdot Y(r)+Ik\cdot Z(r)+T(r). \]

Введем интегрирование над листом малой переменной λ функции F аналогично введению интегрирования в теории функций комплексного переменного (см., например, [4]). Разобьем кривую γ    на частичные  дуги γn  конечным числом  n  точками λn, взятыми в порядке следования по кривой γ. Обозначим  через ln  длину дуги [1], оканчивающейся точкой  ln, и пусть  l=max ln – максимальная  длина элементарной дуги из разбиения.  Тогда определим интеграл от функции F(λ) по кривой γ  как следующий предел при стремлении максимальной длинны элементарной дуги l к нулю:

(1):

    \[ \int\limits_\gamma F(\lambda )d\lambda =\lim\limits_{l\to 0}  \sum\limits_n F(\lambda_{n} )(\lambda_{n} -\lambda_{n-1} ), \]

где γ — контур интегрирования и λ∈γ. Функция F(λ), в соответствии с [6], представляется в виде суммы действительных и мнимых составляющих. Соответственно, λ принадлежит листу малых переменных и представляется в виде суммы мнимых составляющих:  λ=I×t+i×x+j×y+k×z. Тогда

 

(2):

    \[ \begin{array}{l}  \lambda_{n} -\lambda_{n-1} =I\cdot (t_{n} -t_{n-1} )+i\cdot (x_{n}  -x_{n-1} )+ \\   +j\cdot (y_{n} -y_{n-1} )+k\cdot (z_{n} -z_{n-1} ) \\   \end{array} \]

при l->0  соответствующие разности перейдут в действительные дифференциалы. Окончательно получаем:

(3):

    \[ \begin{array}{l}  \int\limits_\gamma {F(\lambda )d\lambda =\int\limits_\gamma  {\begin{array}{l}  (\alpha +i\cdot C_{X} +j\cdot C_{Y} +k\cdot C_{Z} + \\   +I\cdot \beta +Ii\cdot G_{X} +Ij\cdot G_{Y} +Ik\cdot G_{Z} )\times \\   \end{array}} } \\   \times (I\cdot \partial t+i\cdot \partial x+j\cdot \partial y+k\cdot  \partial z), \\   \end{array} \]

Раскрывая скобки и выполняя умножение в соответствии с таблицей 1 умножения [6] получим представление интеграла (1) в виде суммы интегралов от действительных переменных:

(4):

    \[ \begin{array}{l}  \int\limits_\gamma {F(\lambda )d\lambda =\int\limits_\gamma {-C_{X}  \partial x-C_{Y} \partial y-C_{Z} \partial z-\beta \partial t+} } i\times \\   \times \int\limits_\gamma {\alpha \partial x+C_{Y} \partial z-C_{Z}  \partial y-G_{X} \partial t+} \\   +j\cdot \int\limits_\gamma {\alpha \partial y-C_{X} \partial z+C_{Z}  \partial x-G_{Y} \partial t} + \\   +k\cdot \int\limits_\gamma {\alpha \partial z+C_{X} \partial y-C_{Y}  \partial x-G_{Z} \partial t} + \\   +I\cdot \int\limits_\gamma {\alpha \partial t-G_{X} \partial x-G_{Y}  \partial y-G_{Z} \partial z+} \\   +Ii\cdot \int\limits_\gamma C_{X} \partial t+\beta \partial x+G_{Y}  \partial z-G_{Z} \partial y+ \\   +Ij\cdot \int\limits_\gamma {C_{Y} \partial t+\beta \partial y-G_{X}  \partial z+G_{Z} \partial x+} \\   +Ik\cdot \int\limits_\gamma C_{Z} \partial t+\beta \partial z+G_{X}  \partial y-G_{Y} \partial x. \\   \end{array} \]

Следовательно, интегрирование над числами М по кривой γ сводится, как и в комплексном случае,  к сумме действительных интегралов.

Аналогично представим интеграл над листом большой переменной Λ по кривой Г:

(5):

    \[ \begin{array}{l}  \int\limits_\Gamma {F(\Lambda )d\Lambda =\int\limits_\Gamma  {\begin{array}{l}  (\alpha +i\cdot C_{X} +j\cdot C_{Y} +k\cdot C_{Z} + \\   +Ii\cdot G_{X} +Ij\cdot G_{Y} +Ik\cdot G_{Z} ) \\   \end{array}} } \times \\   \times (\partial T+Ii\cdot \partial X+Ij\cdot \partial Y+Ik\cdot \partial  Z) \\   \end{array} \]

Раскрывая скобки и выполняя умножение в соответствии с таблицей 1 умножения чисел М [6], интеграл (5) сведем к сумме действительных интегралов:

(6):

    \[ \begin{array}{l}  \int\limits_\Gamma {F(\Lambda )d\Lambda =\int\limits_\Gamma {\alpha  \partial T+G_{X} \partial X+G_{Y} \partial Y+G_{Z} \partial Z+} } \\   +i\cdot \int\limits_\Gamma {C_{X} \partial T-\beta \partial X-G_{Y}  \partial Z+G_{Z} \partial Y+} \\   +j\cdot \int\limits_\gamma {C_{Y} \partial T-G_{Z} \partial X-\beta  \partial Y+G_{X} \partial Z} + \\   +k\cdot \int\limits_\Gamma {C_{Z} \partial T-\beta \partial Z-G_{X}  \partial Y+G_{Y} \partial X} + \\   +I\cdot \int\limits_\Gamma \beta \partial T-C_{X} \partial X-C_{Y} \partial  Y-C_{Z} \partial Z+ \\   +Ii\cdot \int\limits_\Gamma G_{X} \partial X+\alpha \partial X+C_{Y}  \partial Z-C_{Z} \partial Y+ \\   +Ij\cdot \int\limits_\Gamma G_{Y} \partial T+\alpha \partial Y-C_{X}  \partial Z-C_{Z} \partial X+ \\   Ik\cdot \int\limits_\Gamma G_{Z} \partial T+\alpha \partial Z+C_{X}  \partial Y-C_{Y} \partial X. \\   \end{array} \]

Основные свойства интегралов (3) и (5) следующие:

Линейность:

(7):

    \[ \int\limits_\gamma {(F_{1} m_{1} +F_{2} m_{2} )} d\lambda =m_{1}  \int\limits_\gamma {F_{1} } d\lambda +m_{2} \int\limits_\gamma {F_{2}  d\lambda } {\begin{array}{*{20}c}  , \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, }(7)} \hfill \\ \end{array} } \]

где m1, m2числа с листа малой переменной, m1, m2⊆λ.

(8):

    \[ \int\limits_\gamma {Fd\lambda } =-\int\limits_{-\gamma } {Fd\lambda }  .\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(8)} \hfill \\ \end{array} } \]

(9):

    \[ \int\limits_{\gamma_{1} } {Fd\lambda } +\int\limits_{\gamma_{2} }  {Fd\lambda =\int\limits_{\gamma_{1} +\gamma_{2} } {Fd\lambda } }  .{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, }(9)} \hfill \\ \end{array} } \]

Свойства 1-3 – вытекают из свойств сумм действительных интегралов (4) и  (6) и устанавливаются непосредственной проверкой.

Аналогичным путем введем m-кратные интегралы (см., например. [7]). Определим m-кратный интеграл на m листах малых переменных λm как предел следующей суммы:

(10):

    \[ \begin{array}{l}  \mathop{\int\!\!\!\int\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt {\gamma^{1}\gamma  ^{2}\gamma^{3}}} {...} \int\limits_{\gamma^{m}} {F(\lambda^{1},\lambda  ^{2},\lambda^{3},} ...,\lambda^{m})d\lambda^{1}d\lambda^{2}d\lambda  ^{3}d...\lambda^{m}= \\   =\int\limits_{\gamma^{[m]}} {F(\lambda^{[m]})d\lambda^{[m]}} = \\   =\mathop {\lim \left[ \right.}\limits_{{\begin{array}{l}  l^{1}\to 0 \\   l^{2}\to 0 \\   l^{3}\to 0 \\   ........ \\   l^{m}\to 0 \\   \end{array}}} \sum\limits_{n^{1},n^{2},n^{3}...n^{m}} {F(\lambda^{[m]})}  (\lambda_{n_{1} }^{1} -\lambda_{n_{1} +1}^{1} )\times \\   \times (\lambda_{n_{2} }^{2} -\lambda_{n_{2} +1}^{2} )(\lambda_{n_{3}  }^{3} -\lambda_{n_{3+1} }^{3} )...(\lambda_{n_{m} }^{m} -\lambda_{n_{m}  +1}^{m} )\left. \right], \\   \end{array} \]

где lk – максимальная длинна элементарной  дуги k -ой переменной при разбиении на отрезки точками nk. F(λ123, …,λm) – функция m переменных. γ[m]m— кривых на m листах малой переменной, заданных как параметрические функции от действительных параметров rn со значением на n – ом листе переменной λn. Подставляя в (10) составляющие функции F и дифференциалов

(11):

    \[ d\lambda^{k}=i\cdot \partial x^{k}(r)+j\cdot \partial y^{k}(r)+k\cdot  \partial z^{k}(r)+I\cdot \partial t^{k}(r) \]

в виде действительных и мнимых составляющих, с учетом таблицы умножения чисел М, этот интеграл сводим к вычислению действительных интегралов. Их свойства будут соответствовать свойствам (7)-(9) и свойствам действительных m-мерных интегралов.

Аналогично определим кратный интеграл на листах большой переменной Λ[m].        Для выражения (10) примем следующую сокращенную запись кратного интеграла на листе  большой переменной:

(12):

    \[ \int\limits_{\Gamma^{[m]}} F(\Lambda^{[m]})d\Lambda^{1}d\Lambda  ^{2}d\Lambda^{3}...d\Lambda^{m}=\int\limits_{\Gamma^{[m]}} F(\Lambda  ^{[m]})d\Lambda^{[m]}. \]

Здесь: Γ[m] m листов большой переменной Λn.

Введенные операции интегрирования будут использованы при разложениях в ряды и интегральных преобразованиях.

 

 

2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

0

В качестве примера использования интегрирования рассмотрим определение коэффициентов разложения периодических функций над числами М в ряд. Так же рассмотрим аналог преобразования Фурье для непериодических функций над числами М.

Предварительно переопределим функцию F(λ) с листа малой переменной  λ на 4 листах малой переменной  λ=λ1234 при следующих условиях:

(13),(14):

    \[ \begin{array}{l}  F(\lambda )=F(\lambda^{[4]})=F(\lambda^{1}+\lambda^{2}+\lambda  ^{3}+\lambda^{4}),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, }(13)} \hfill \\ \end{array} } \\   \lambda^{1}=i\cdot x,\mbox{\, \, }\lambda^{2}=j\cdot y,\mbox{\, \,  }\lambda^{3}=k\cdot z,\mbox{\, \, }\lambda^{4}=I\cdot  t.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, }(14)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

Пусть имеется система функций

    \[ \{F_{n^{[4]}} \} \]

n[4]=(nx,ny,nz,nt), где nv(v=x,y,z,t) – действительные функции. Ортогональность функций ряда определим следующим образом.

Fn  и Fm ортогональны при n¹m, если существует некоторая 4-область γ[4] на листах малой переменной, что выполняется равенство

(15):

    \[ F_{n} \bullet F_{m} =\int\limits_{\gamma^{[4]}}^{\mbox{\, }}  {\mathunderscore F_{n} (\lambda^{[4]})\cdot F_{m} (-\lambda^{[4]})d\lambda  ^{[4]}} =0.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill \\ \end{array} } \]

Примером ортогонального ряда является ряд из показательных функций над листом малой  переменной. Для листа малой переменной показательная функция имеет вид [6]:

(16):

    \[ F_{\omega } (\lambda )=\exp (i\cdot \omega_{X} x+j\cdot \omega_{Y}  y+k\cdot \omega_{Z} z+I\cdot \omega_{T} t),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, }(16)} \hfill \\ \end{array} } \]

где функция  4-периодична [8] с периодами   по каждой независимой переменной x, y, z, и t.

Действительно, для функции ) следующие преобразования применимы:

(17):

    \[ \begin{array}{l}  F_{\omega 1} (\lambda )\bullet F_{\omega 2} (\lambda )=\int\limits_{\gamma  ^{[4]}} \exp (i\omega_{X1} +j\omega_{Y1} y+k\omega_{Z1} z+I\cdot \omega  _{T1} t)\times \\   \times \exp (-i\omega_{X2} x-j\omega_{Y2} y-k\omega_{Z2} z-I\omega_{T2}  t)d\lambda^{[4]}= \\   =\int\limits_{\gamma^{[4]}} \exp (i(\omega_{X1} -\omega_{X2} )x+j(\omega  _{Y1} -\omega_{Y2} )y+ \\   +k(\omega_{Z1} -\omega_{Z2} )z+I(\omega_{T1} -\omega_{T2} )t)d\lambda  ^{[4]}= \\   =\left\{ {\begin{array}{l}  0,\mbox{\, \, при\, \, }\omega_{X1} \ne \omega_{X2} ,\omega_{Y1} \ne  \omega_{Y2} ,\omega_{Z1} \ne \omega_{Z2} ,\omega_{T1} \ne \omega_{T2} ,  \\   i\cdot j\cdot k\cdot I\cdot (2\pi )^{4}= \\   =-I\cdot (2\pi )^{4}\mbox{\, \, при\, }\omega_{\mbox{X1}} =\omega  _{\mbox{X2}} =\omega_{Y1} =\omega_{\mbox{Y2}} = \\   =\omega_{\mbox{Z1}} =\omega_{\mbox{Z2}} =\omega_{\mbox{T1}} =\omega  _{\mbox{T2}} =\mbox{0,\, } \\   \end{array}} \right. \\   \end{array} \]

при выборе γ[4], равном участку 4-периодичности. При этом показательная подынтегральная функция представляется в виде произведения показательных функций от независимых переменных. Тогда интегрировать можно по каждой переменной независимо от других при учете только порядка интегрирования. Например, для переменной I×t на интервале от 0 до I×  имеем:

(18):

    \[ \int\limits_0^{I\cdot 2\pi } {\exp (I\cdot (\omega_{T1} -\omega_{T2}  )t)d(I\cdot t)} =\left\{ {{\begin{array}{*{20}c}  {0,\omega_{T1} \ne \omega_{T2} ,} \hfill \\  {I\cdot 2\pi ,\omega_{T1} =\omega_{T2} .} \hfill \\ \end{array} }} \right.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(18)} \hfill \\ \end{array} } \]

Рассмотрим следующую задачу о возможности  разложения функции F(λ[4]) в ряд из показательных функций над листом малой переменной:

(19):

    \[ F(\lambda^{[4]})=\sum\limits_\omega {A_{\omega } \exp (i\cdot \omega_{X}  x+j\cdot \omega_{Y} y+k\cdot \omega_{Z} z+I\cdot \omega_{T}  t),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(19)} \hfill \\ \end{array} }}  \]

где в (19) суммирование производится по всевозможным  сочетаниям ωxY,Z,ωt), определяющим экспоненциальные решения системы уравнений Максвелла для прямоугольного резонатора и являющиеся суммой электрических и магнитных функций [6].

Для определения соответствующих коэффициентов  Аω  умножим  уравнение (19) на соответствующие ортогональные функции справа и проинтегрируем на соответствующих интервалах. Тогда с учетом свойства ортогональности (17) ряда (19) получаем:

(20):

    \[ \frac{1}{I\cdot (2\pi )^{4}}\int\limits_{\gamma^{[4]}} F\exp (-i\omega_{X}  x-j\omega_{Y} y-k\omega_{Z} z-I\cdot \omega_{T} t)d\lambda  ^{[4]}=A_{\omega } , \]

для ряда над листами малой переменной. Теперь определенное таким образом значение для коэффициента  Аω  подставим в ряд (19):

(21):

    \[ \begin{array}{l}  F(\lambda^{[4]})=\sum\limits_\omega {(\frac{1}{I\cdot (2\pi )^{4}}}  \int\limits_{\gamma^{[4]}} F\exp (-i\omega_{x} x-j\omega_{y} y-k\omega  _{z} z-I\cdot \omega_{t} t)d\lambda^{[4]}\times \\   \mbox{\, \, }\times \exp (i\cdot \omega_{x} x+j\cdot \omega_{y} y+k\cdot  \omega_{z} z+I\cdot \omega_{t} t)){\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

На основе выражения (21) может быть определен аналог  прямого и обратного преобразования Фурье по следующим выражениям:

(22):

    \[ \begin{array}{l}  \Psi (\omega )=\frac{1}{I\cdot (2\pi )^{4}}\int\limits_{\gamma^{[4]}}  F(\lambda^{[4]})\exp (-i\cdot \omega_{x} x-j\cdot \omega_{y} y- \\   -k\cdot \omega_{z} z-I\cdot \omega_{t} t)d\lambda^{[4]}, \\   \end{array} \]

(23):

    \[ F(\lambda )=\sum\limits_\omega {\Psi (\omega )\exp (i\cdot \omega_{x}  x+j\cdot \omega_{y} y+k\cdot \omega \cdot_{z} z+I\cdot \omega_{t} t).}  {\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }(23)}  \hfill \\ \end{array} } \]

В (23) ω(ωxY,Z,ωt).,

Для получения интегрального обратного преобразования Фурье проведем преобразования, аналогичные описанным в [9]. Для этого перепишем уравнение (22) для периодов l произвольной длинны:

(24):

    \[ \begin{array}{l}  l_{x} l_{y} l_{z} l_{t} \Psi (k)=\frac{1}{I\cdot (2\pi  )^{4}}\int\limits_{l^{[4]}} F(\lambda^{[4]})\exp (-i\cdot \frac{2\pi k_{x}  }{l_{x} }- \\   -j\cdot \frac{2\pi k_{y} }{l_{y} }-k\cdot \frac{2\pi k_{z} }{l_{z} }-I\cdot  \frac{2\pi k_{t} }{l_{t} })d\lambda^{[4]}{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(24)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

Тогда ряд (23) перепишется в виде:

(25):

    \[ F(\lambda )=\sum\limits_k {\begin{array}{l}  l_{x} l_{y} l_{z} l_{t} \Psi (k)\exp (i\cdot 2\pi \nu_{x} x+j\cdot 2\pi  \nu_{y} y+ \\   +k\cdot 2\pi \nu_{z} z+I\cdot 2\pi \nu_{t} t)\Delta \nu  ^{[4]}{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(25)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array}}  \]

где:

    \[ \nu =\frac{k}{l},\mbox{\, \, \, }\Delta \nu  =\frac{k+1}{l}-\frac{k}{l}=\frac{1}{l}. \]

От суммы (25) при l→∝ получим интеграл:

(26):

    \[ \begin{array}{l}  F(\lambda )\sim \int\limits_{V^{[4]}} \Psi (v)\exp (i\cdot 2\pi v_{x}  x+j\cdot 2\pi v_{y} y+ \\   +k\cdot 2\pi v_{z} z+I\cdot 2\pi v_{t} t)dv^{[4]}. \\   \end{array} \]

В (24) и в (25) экспоненты разлагаются на множители по каждой переменной и преобразования можно проводить независимо от других переменных, составляющих λ.

Рассмотрим Фурье – образ частной производной на листе малой переменной (22):

(27):

    \[ \begin{array}{l}  {F}'_{X} \sim \frac{1}{I\cdot (2\pi )^{4}}\int\limits_{\gamma^{[4]}}  {F}'_{X} (\lambda^{[4]})\exp (-i\cdot \omega_{X} x- \\   -j\cdot \omega_{Y} y-k\cdot \omega_{Z} z-I\cdot \omega_{T} t)dxd\lambda  ^{[3]} \\   \end{array} \]

Интегрируя по частям, получаем:    

(28):

    \[ \begin{array}{l}  {F}'_{X} \sim \frac{1}{I\cdot (2\pi )^{4}}\int\limits_{\gamma^{[3]}}^  F(\lambda^{[4]})\exp (-i\cdot \omega_{x} x-j\cdot \omega_{y} y- \\   -k\cdot \omega_{z} z-I\cdot \omega_{t} t)d\lambda^{[3]}\left|  {_{x(r=\delta^{1})}^{x(r=\chi^{1})} } \right.-\frac{Ii\cdot \omega_{X}  }{(2\pi )^{4}}\Psi (\omega ). \\   \end{array} \]

В (28) первый член разности есть разность значений левого выражения на границах области γ по x и выражает граничные условия для частной производной в самом общем виде.

Свойство (28) дает возможность использования аналога преобразования Фурье для получения решений дифференциальных уравнений в частных производных.

Рассмотрим другое представление ряда (19), которое можно использовать для более общего класса функций. В (19) члены ряда определяются действительными коэффициентами ω= ω(ωxY,Z,ωtпри независимых переменных с листов малой переменной λ[4].  Рассмотрим следующий ряд:

(29):

    \[ \begin{array}{l}  F=\sum\limits_u A_{u} \exp (u\lambda )= \\   =\sum\limits_u A_{u} \exp ((i\cdot u_{x} +j\cdot u_{y} +k\cdot u_{z}  +I\cdot u_{t} )\times \\   \times (i\cdot x+j\cdot y+k\cdot z+I\cdot t)),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, }(29)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

где: u – множитель с листа малой переменной. Физический смысл членов ряда (29) можно определить, если раскрыть скобки показателя экспоненты. Тогда:

(30):

    \[ F=\sum\limits_u A_{u} \exp (u\lambda )=\sum\limits_u A_{u} A^{1}A^{2}A^{3}, \]

где:

(31-33):

    \[ \begin{array}{l}  A^{1}=\exp (-u_{x} x-u_{y} y-u_{z} z-u_{t} t),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, }} \hfill \\ \end{array} } \\   A^{2}=\exp (i\cdot (u_{y} z-u_{z} y)+j\cdot (u_{z} x-u_{x} z)+k\cdot (u_{x}  y-u_{y} x),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, }} \hfill \\ \end{array} } \\   A^{3}=\exp (Ii\cdot (u_{x} t+u_{t} x)+Ij\cdot (u_{y} t+u_{t} y)+Ik\cdot  (u_{z} t+u_{t} z).{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, }} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

Смысл множителя А1 – экспоненциальное изменение в пространстве и времени; А2— соответствует решению для прямоугольного резонатора [6] без временной зависимости с осями периодичности, развернутыми относительно осей x, y, и  z соответственно; А3 соответствует показательной функции на листе большой переменной, бегущей по пространственным осям. Множители (31) и (32) соответствуют экспофункциональным полям, введенным в [10].

Функция (29) является дифференцируемой. Действительно,  для дифференцируемой функции F(λ), являющейся решением системы уравнений Максвелла, справедлива система уравнений

(34):

    \[ \frac{dF(\lambda )}{d\overline \lambda }=0,{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill \\ \end{array} } \]

или:

(35):

    \[ \begin{array}{l}  \frac{dF}{d(-i\cdot x-j\cdot y-k\cdot z+I\cdot t)}= \\   =\frac{d(\exp (u\lambda ))}{d(-i\cdot x-j\cdot y-k\cdot z+I\cdot  t)}=u\frac{\partial }{\partial \overline \lambda }\exp \lambda =u\cdot  0{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

в силу дифференцируемости показательной функции.

Изучение общего решения системы уравнений Максвелла благодаря ее линейности, можно заменить изучением свойств экспоненциальных членов  рядов (19) или (30), что упрощает задачу.

В заключение отметим, что интегрирование функций над числами М может быть использовано при получении и изучении решений системы уравнений Максвелла в рамках предложенного формализма.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Никольский Н.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978. – 543 с.
  2. Иваницкий А.М. Обобщенный символический метод анализа электрических цепей. Учебное пособие. – Одесса: УГАС, 1994. – 27 с.
  3. Иваницкий А.М. Комплексный анализ многомерных цепей/ ОЭИС. – Одесса, 1993 – 15 с. – Рус. —  Деп. В ЦНТИ “Информсвязь” 06.04.93, №1961 – св.
  4. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1982. – 488 с.
  5. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1977. – 504с.
  6. Кравчик Ю.С. Обобщение комплексных чисел и их применение в электродинамике // Праці УНДІРТ. – 2003. — №4(36).
  7. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. – М.: Наука, 1969. – 576 с.
  8. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979. – 318 с.
  9. Ефимов А.В. Математический анализ. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1980. – 279 с.
  10. Иваницкий А.М. Экспофункциональные поля // Наукові праці УДАЗ ім. О.С. Попова. – 2001. — №1. – С. 18-21.

 

  • Подпишитесь на новости

  • Твиттер

  • Кликните на банер

Вверх