РАСШИРЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАД ЧИСЛАМИ М
0КРАВЧИК Ю.С. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАД ЧИСЛАМИ М pdf
Аннотация. Представлено интегрирование над числами М и аналог преобразования Фурье.
Summary. Integration above numbers of M and analogue of transformation Fourier is submitted.
В настоящее время актуальна проблема получения аналитических решений системы уравнений Максвелла. Такие решения необходимы для расчета и анализа электромагнитных резонаторов, направляющих систем и пространственных полей в радиотехнике и телекоммуникации.
Для получения решений системы уравнений Максвелла наибольшее распространение получили символический метод [1] и его обобщения – обобщенный символический метод [2] и многомерный символический метод [3], а так же теория дифференциальных уравнений [4]. Их использование ограничено определенным классом функций, в котором находится решение, либо математическими трудностями, связанными с необходимостью разделения переменных. Во многих практически важных случаях такие методы не дают аналитического решения. Теория функций комплексной переменной [5] адекватно описывает плоские стационарные электрические и магнитные поля. Возможность использования одного из вариантов расширения комплексных чисел – чисел М в электродинамике Максвелла показана в [6]. В [6] описаны числа М, их арифметика – сложение, вычитание, умножение и деление, а так же дифференцирование функций над числами М. Однако не была рассмотрена обратная операция — интегрирование. Поэтому целью данной работы является показать возможность введения интегрирования для функций над числами М. В дальнейшем будут использованы обозначения и понятия, введенные в [6].
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Интегрирование для функций над числами М по некоторой кривой γ определим следующим образом.
Определим кривую на листе малой переменной следующим образом. Пусть на отрезке действительной оси
задана функция λ=λ(r), принимающая значения на листе малой переменной
Здесь x(r), y(r), z(r) и t(r) –действительные непрерывные дифференцируемые функции. Аналогично определим кривую как однопараметрическую функцию со значениями на листе большой переменной
Введем интегрирование над листом малой переменной λ функции F аналогично введению интегрирования в теории функций комплексного переменного (см., например, [4]). Разобьем кривую γ на частичные дуги γn конечным числом n точками λn, взятыми в порядке следования по кривой γ. Обозначим через ln длину дуги [1], оканчивающейся точкой ln, и пусть l=max ln – максимальная длина элементарной дуги из разбиения. Тогда определим интеграл от функции F(λ) по кривой γ как следующий предел при стремлении максимальной длинны элементарной дуги l к нулю:
(1):
где γ — контур интегрирования и λ∈γ. Функция F(λ), в соответствии с [6], представляется в виде суммы действительных и мнимых составляющих. Соответственно, λ принадлежит листу малых переменных и представляется в виде суммы мнимых составляющих: λ=I×t+i×x+j×y+k×z. Тогда
(2):
при l->0 соответствующие разности перейдут в действительные дифференциалы. Окончательно получаем:
(3):
Раскрывая скобки и выполняя умножение в соответствии с таблицей 1 умножения [6] получим представление интеграла (1) в виде суммы интегралов от действительных переменных:
(4):
Следовательно, интегрирование над числами М по кривой γ сводится, как и в комплексном случае, к сумме действительных интегралов.
Аналогично представим интеграл над листом большой переменной Λ по кривой Г:
(5):
Раскрывая скобки и выполняя умножение в соответствии с таблицей 1 умножения чисел М [6], интеграл (5) сведем к сумме действительных интегралов:
(6):
Основные свойства интегралов (3) и (5) следующие:
Линейность:
(7):
где m1, m2 – числа с листа малой переменной, m1, m2⊆λ.
(8):
(9):
Свойства 1-3 – вытекают из свойств сумм действительных интегралов (4) и (6) и устанавливаются непосредственной проверкой.
Аналогичным путем введем m-кратные интегралы (см., например. [7]). Определим m-кратный интеграл на m листах малых переменных λm как предел следующей суммы:
(10):
где lk – максимальная длинна элементарной дуги k -ой переменной при разбиении на отрезки точками nk. F(λ1,λ2,λ3, …,λm) – функция m переменных. γ[m] – m— кривых на m листах малой переменной, заданных как параметрические функции от действительных параметров rn со значением на n – ом листе переменной λn. Подставляя в (10) составляющие функции F и дифференциалов
(11):
в виде действительных и мнимых составляющих, с учетом таблицы умножения чисел М, этот интеграл сводим к вычислению действительных интегралов. Их свойства будут соответствовать свойствам (7)-(9) и свойствам действительных m-мерных интегралов.
Аналогично определим кратный интеграл на листах большой переменной Λ[m]. Для выражения (10) примем следующую сокращенную запись кратного интеграла на листе большой переменной:
(12):
Здесь: Γ[m]— m листов большой переменной Λn.
Введенные операции интегрирования будут использованы при разложениях в ряды и интегральных преобразованиях.
2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
0В качестве примера использования интегрирования рассмотрим определение коэффициентов разложения периодических функций над числами М в ряд. Так же рассмотрим аналог преобразования Фурье для непериодических функций над числами М.
Предварительно переопределим функцию F(λ) с листа малой переменной λ на 4 листах малой переменной λ=λ1+λ2+λ3+λ4 при следующих условиях:
(13),(14):
Пусть имеется система функций
n[4]=(nx,ny,nz,nt), где nv(v=x,y,z,t) – действительные функции. Ортогональность функций ряда определим следующим образом.
Fn и Fm ортогональны при n¹m, если существует некоторая 4-область γ[4] на листах малой переменной, что выполняется равенство
(15):
Примером ортогонального ряда является ряд из показательных функций над листом малой переменной. Для листа малой переменной показательная функция имеет вид [6]:
(16):
где функция Fω 4-периодична [8] с периодами 2π по каждой независимой переменной x, y, z, и t.
Действительно, для функции Fω(λ) следующие преобразования применимы:
(17):
при выборе γ[4], равном участку 4-периодичности. При этом показательная подынтегральная функция представляется в виде произведения показательных функций от независимых переменных. Тогда интегрировать можно по каждой переменной независимо от других при учете только порядка интегрирования. Например, для переменной I×t на интервале от 0 до I×2π имеем:
(18):
Рассмотрим следующую задачу о возможности разложения функции F(λ[4]) в ряд из показательных функций над листом малой переменной:
(19):
где в (19) суммирование производится по всевозможным сочетаниям ω(ωx,ωY,,ωZ,ωt), определяющим экспоненциальные решения системы уравнений Максвелла для прямоугольного резонатора и являющиеся суммой электрических и магнитных функций [6].
Для определения соответствующих коэффициентов Аω умножим уравнение (19) на соответствующие ортогональные функции справа и проинтегрируем на соответствующих интервалах. Тогда с учетом свойства ортогональности (17) ряда (19) получаем:
(20):
для ряда над листами малой переменной. Теперь определенное таким образом значение для коэффициента Аω подставим в ряд (19):
(21):
На основе выражения (21) может быть определен аналог прямого и обратного преобразования Фурье по следующим выражениям:
(22):
(23):
В (23) ω=ω(ωx,ωY,,ωZ,ωt).,
Для получения интегрального обратного преобразования Фурье проведем преобразования, аналогичные описанным в [9]. Для этого перепишем уравнение (22) для периодов l произвольной длинны:
(24):
Тогда ряд (23) перепишется в виде:
(25):
где:
От суммы (25) при l→∝ получим интеграл:
(26):
В (24) и в (25) экспоненты разлагаются на множители по каждой переменной и преобразования можно проводить независимо от других переменных, составляющих λ.
Рассмотрим Фурье – образ частной производной на листе малой переменной (22):
(27):
Интегрируя по частям, получаем:
(28):
В (28) первый член разности есть разность значений левого выражения на границах области γ по x и выражает граничные условия для частной производной в самом общем виде.
Свойство (28) дает возможность использования аналога преобразования Фурье для получения решений дифференциальных уравнений в частных производных.
Рассмотрим другое представление ряда (19), которое можно использовать для более общего класса функций. В (19) члены ряда определяются действительными коэффициентами ω= ω(ωx,ωY,,ωZ,ωt) при независимых переменных с листов малой переменной λ[4]. Рассмотрим следующий ряд:
(29):
где: u – множитель с листа малой переменной. Физический смысл членов ряда (29) можно определить, если раскрыть скобки показателя экспоненты. Тогда:
(30):
где:
(31-33):
Смысл множителя А1 – экспоненциальное изменение в пространстве и времени; А2— соответствует решению для прямоугольного резонатора [6] без временной зависимости с осями периодичности, развернутыми относительно осей x, y, и z соответственно; А3 соответствует показательной функции на листе большой переменной, бегущей по пространственным осям. Множители (31) и (32) соответствуют экспофункциональным полям, введенным в [10].
Функция (29) является дифференцируемой. Действительно, для дифференцируемой функции F(λ), являющейся решением системы уравнений Максвелла, справедлива система уравнений
(34):
или:
(35):
в силу дифференцируемости показательной функции.
Изучение общего решения системы уравнений Максвелла благодаря ее линейности, можно заменить изучением свойств экспоненциальных членов рядов (19) или (30), что упрощает задачу.
В заключение отметим, что интегрирование функций над числами М может быть использовано при получении и изучении решений системы уравнений Максвелла в рамках предложенного формализма.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Никольский Н.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978. – 543 с.
- Иваницкий А.М. Обобщенный символический метод анализа электрических цепей. Учебное пособие. – Одесса: УГАС, 1994. – 27 с.
- Иваницкий А.М. Комплексный анализ многомерных цепей/ ОЭИС. – Одесса, 1993 – 15 с. – Рус. — Деп. В ЦНТИ “Информсвязь” 06.04.93, №1961 – св.
- Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1982. – 488 с.
- Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1977. – 504с.
- Кравчик Ю.С. Обобщение комплексных чисел и их применение в электродинамике // Праці УНДІРТ. – 2003. — №4(36).
- Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. – М.: Наука, 1969. – 576 с.
- Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979. – 318 с.
- Ефимов А.В. Математический анализ. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1980. – 279 с.
- Иваницкий А.М. Экспофункциональные поля // Наукові праці УДАЗ ім. О.С. Попова. – 2001. — №1. – С. 18-21.