точные решения системы уравнений Максвелла

1. ГРУППОВОЕ ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ Т — РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

0

 

Кравчик Ю.С.

Аннотация Рассмотрены групповые свойства и представление Т – полей составляющими комплексных  функций. Приведены примеры получения собственных функций для поперечно – однородных структур.

Abstract Group properties and performance Т — fields component complex functions surveyed. Examples of deriving of eidenfunctions for transversally — the homogeneous structures are reduced.

В настоящее время в электродинамике существует проблема точного аналитического расчета электромагнитных структур, дающего возможность анализа их свойств с целью улучшения их эксплуатационных и технических характеристик.

Существует несколько методов получения точных решений однородной системы уравнений Максвелла. Среди них – метод разделения переменных [1], использующий преобразование системы координат. Известен метод электростатической аналогии, позволяющий получать решения в виде Т-полей для 2- и более связанных структур с применением теории функций комплексного переменного. Его использование основано на электростатической аналогии и тождественности описывающих их решения уравнений – двумерного уравнения Лапласа [2]. Применение функций комплексного переменного позволяет решить ряд 3- мерных задач [3] переходом к специально выбранным системам координат.

Эти точные методы ограничены в возможностях. Один из путей увеличения числа точных решений – использование групповых преобразований, переводящих одно решение в другое. Это актуально, например, для точного определения электромагнитного поля вблизи идеально проводящих одно-связанных поверхностей,  как в прямых, так и в обратных задачах электродинамики, что позволяет оптимизировать технические параметры электромагнитных систем.  Известны группы системы уравнений Максвелла, например, — непрерывная 17-параметрическая группа [4], группа перехода между листами малой и большой переменной [5]. Но их недостаток – малое число операторов, которые они позволяют использовать. Поэтому цель данной работы – предложить группу 2- мерного преобразования для Т— полей с более богатым множеством допустимых операторов.

ГРУППОВОЕ СВОЙСТВО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ  КОМПЛЕКСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ  НАД Т-ПОЛЯМИ

Знание групповых свойств позволяет определить класс функций, являющихся решением системы уравнений Максвелла. Преобразование одного решения в другое с помощью групповой операции позволяет получать множество других решений. Определим групповую операцию и подмножество решений, на  котором эта операция действует.

Группа преобразований [6] должна удовлетворять следующим условиям.

  • Преобразование должно быть замкнутым, т.е. переводить одно решение в другое.
  • Группа преобразований должна содержать тождественное преобразование.
  • Вместе с преобразованием должно существовать и обратное ему.
  • Композиция преобразований должна переводить одно решение в другое.

Будем рассматривать  преобразования, определяемые составляющими функции комплексного переменного

(1):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  x=\phi ({x}',{y}'), \\   y=\psi ({x}',{y}'), \\   \end{array}} \right. \]

где: x′ и  y′ — новые переменные, φ и  ψ— составляющие комплексной функции, удовлетворяющие условиям Коши – Римана  [7]:

(2):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \frac{\partial \phi }{\partial x}=\frac{\partial \psi }{\partial y}, \\   \frac{\partial \phi }{\partial y}=-\frac{\partial \psi }{\partial x}, \\   \end{array}} \right. \]

Покажем, что описанные преобразования над  подмножеством решений Т — полей системы уравнений Максвелла образуют  группу преобразований. Проверим свойство 1 группового преобразования —  замкнутость преобразования (1).

Пусть составляющие решения Т — поля имеют следующие компоненты электрического и магнитного полей EX, EY, HX  и HY.  Следующие  уравнения системы уравнений Максвелла с этими компонентами имеют следующий вид:

(3):

(4):

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial E_{Y} }{\partial z}=\mu \mu_{0} \frac{\partial H_{X}  }{\partial t}, \\   \frac{\partial E_{X} }{\partial z}=-\mu \mu_{0} \frac{\partial H_{Y}  }{\partial t}. \\   \end{array} \]

Где: EX, EY, HX, HYнапряженности электрического и магнитного полей по соответствующим координатам, μ  и μ0  определяют магнитную проницаемость среды.

Как видно, уравнения (3) и (4) при преобразованиях, удовлетворяющих условиям Коши – Римана (2) не изменятся, т.к. не затрагивают их переменных.

Составляющие следующего уравнения из системы уравнений Максвелла:

(5)

    \[ \frac{\partial E_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial E_{X} }{\partial y}=0 \]

изменятся преобразованием (1) следующим образом:

(6):

    \[ \frac{\partial E_{Y} }{\partial {x}'}=\frac{\partial E_{Y} }{\partial  x}\frac{\partial \phi }{\partial {x}'}+\frac{\partial E_{Y} }{\partial  y}\frac{\partial \psi }{\partial {x}'}, \]

(7):

    \[ -\frac{\partial E_{X} }{\partial {y}'}=-\frac{\partial E_{X} }{\partial  x}\frac{\partial \phi }{\partial {y}'}-\frac{\partial E_{X} }{\partial  y}\frac{\partial \psi }{\partial {y}'}. \]

С учетом условий Коши – Римана (1) уравнение (5) примет вид:

(8):

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial E_{Y} }{\partial {x}'}-\frac{\partial Ex}{\partial {y}'}= \\   =\left( {\frac{\partial E_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial E_{X} }{\partial  y}} \right)\frac{\partial \phi }{\partial {x}'}+ \\   +\left( {\frac{\partial E_{Y} }{\partial y}+\frac{\partial E_{X} }{\partial  x}} \right)\frac{\partial \psi }{\partial {x}'} \\   \end{array} \]

и с учетом уравнения второй пары уравнений Максвелла

(9):

    \[ \frac{\partial E_{X} }{\partial x}+\frac{\partial E_{Y} }{\partial y}=0 \]

сохраняется.

Остальные уравнения, как можно проверить, так же будут выполнены  при преобразованиях (1).  Следовательно,  преобразование  (1) переводит решение системы уравнений Максвелла в решение.

Тождественное преобразование составляет единичное преобразование, и второе условие выполнено.

Преобразования (1), определяющие дифференцируемую функцию комплексного переменного, обратимы  [7] и третье условие выполнено.

Композиция преобразований,

    \[ ({\phi }''({\phi }',{\psi }'),{\psi }''({\phi }',{\psi }')) \]

определяется сложной комплексной функцией, которая так же удовлетворяет условиям Коши – Римана, если компоненты сложной комплексной функции

    \[ ({\phi }',{\psi }')\mbox{\, ,\, }({\phi }',{\psi }') \]

удовлетворяют тем же условиям [7]. Следовательно, четвертое условие так же выполнено.

Следовательно, преобразование (1) образует группу над подмножеством решений Т – полей  системы уравнений Максвелла  из составляющих EX, EY, HX  и HY.  Поэтому  для нахождения  решения  достаточно иметь хотя бы одно решение и тогда из него можно получить бесконечное множество других решений.

Смысл преобразований, задаваемых преобразованиями (1) можно трактовать как преобразование области на область [7], в отличие от преобразований системы координат [8,9]. Различие этих трактовок состоит в том, что преобразование системы координат ведет к появлению коэффициентов Ламэ, с которыми связаны трудности решения системы уравнений Максвелла. Коэффициенты Ламэ являются функциями точки пространства, поэтому разделение переменных возможно только в ограниченном числе простых случаев.  Преобразование области на область рассматриваются в декартовой системе координат, и коэффициенты Ламэ всегда равны единице. Это существенно упрощает получение решений системы уравнений Максвелла.

Назовем группу, действующую на Т – полях, групповая операция которой определяется компонентами комплексной функции, группой преобразований Т – полей.

В качестве исходного решения для преобразования (1) в общем случае может быть выбрано не только решение в виде Т-волн, но и решение, имеющее составляющую электрического и (или) магнитного поля  вдоль z – координаты. В этом случае уравнения Максвелла, связывающие z – компоненту при преобразованиях (1) становятся противоречивыми между собой для этой компоненты. Их совместное решение возможно только при тождественном равенстве нулю составляющих поля вдоль координаты z. Это утверждение  может быть проверено непосредственно. Поэтому использование комплексных преобразований продуктивно только для Т – полей.

ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Т-ПОЛЕЙ СОСТАВЛЯЮЩИМИ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИИЙ

Покажем, что любое Т – поле, являющееся решением системы Уравнений Максвелла, представляется некоторой функцией комплексного переменного. Такое представление позволяет использовать  все известные свойства теории функций комплексного переменного для изучения свойств Т – полей и получения новых решений.

Здесь будет использована форма представления системы уравнений Максвелла в системе единиц Хэвисайда, в которой магнитная и электрическая проницаемости среды равны единице: ε=μ=1 [10].

Выпишем однородные уравнения Максвелла с учетом составляющих только по x и  y [1,2]:

(9-16):

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial E_{Y} }{\partial z}=\frac{\partial H_{X} }{\partial  t},\mbox{\, \, \, } \\   -\frac{\partial H_{Y} }{\partial z}=\frac{\partial E_{X} }{\partial  t},\mbox{\, \, } \\   \end{array} \]

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial H_{X} }{\partial z}=\frac{\partial E_{Y} }{\partial t}, \\   \frac{\partial E_{X} }{\partial z}=-\frac{\partial H_{Y} }{\partial t}, \\   \frac{\partial E_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial E_{X} }{\partial  y}=0,\mbox{\, } \\   \frac{\partial E_{X} }{\partial x}+\frac{\partial E_{Y} }{\partial  y}=0,\mbox{\, \, } \\   \end{array} \]

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial H_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial H_{X} }{\partial y}=0, \\   \frac{\partial H_{X} }{\partial x}+\frac{\partial H_{Y} }{\partial y}=0. \\   \end{array} \]

Из уравнений (9) – (16) видно, что  возможно разделение переменных – в уравнения (9) – (12) входят  производные  только по z и  t, а в уравнения (13) – (16) – производные по x и  y. Следовательно, составляющие решения системы уравнений (9) – (16) можно представить в виде произведения из двух функций, одна из которых зависит только от x и  y, а другая – от z и  t [11].

Составляющие Т-полей электромагнитного поля могут быть представлены  одним из двух следующих вариантов:

(17):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  E_{X} =E_{X0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   E_{Y} =E_{Y0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{X} =H_{X0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{Y} =-H_{Y0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   \end{array}} \right. \]

(18):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  E_{X} =E_{X0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   E_{Y} =-E_{Y0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{X} =-H_{X0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{Y} =-H_{Y0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   \end{array}} \right. \]

где: φ и Ψ- пара функций, составляющая комплексную функцию и удовлетворяющая условиям Коши – Римана (2); F – произвольная действительная, непрерывная, дифференцируемая и конечная функция, nZ  и  nt – действительные коэффициенты, EX0, EY0, HX0  и HY0  — действительные амплитудные множители.

Для проверки этого утверждения достаточно проверить выполнение  уравнений системы уравнений Максвелла (9) – (16)  для составляющих поля (17) или (18):

(19):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  n_{Z} E_{Y0} \phi {F}'=n_{t} H_{X0} \phi {F}', \\   n_{Z} H_{X0} \phi {F}'=n_{t} E_{Y0} \phi {F}', \\   n_{Z} H_{Y0} \psi {F}'=n_{t} E_{X0} \psi {F}', \\   n_{Z} E_{X0} \psi {F}'=n_{t} H_{Y0} {F}', \\   E_{Y0} {\phi }'_{X} F-E_{X0} {\psi }'_{Y} F=0, \\   H_{Y0} {\psi }'_{X} F+H_{X0} {\phi }'_{Y} F=0, \\   E_{X0} {\psi }'_{X} F+E_{Y0} {\phi }'_{Y} F=0, \\   H_{X0} {\phi }'_{X} F-H_{Y0} {\psi }'_{Y} F=0. \\   \end{array}} \right. \]

(20):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  n_{Z} E_{Y0} \psi {F}'=n_{t} H_{X0} \psi {F}', \\   n_{Z} H_{X0} \psi {F}'=n_{t} E_{Y0} \psi {F}', \\   n_{Z} H_{Y0} \phi {F}'=n_{Z} E_{X0} \phi {F}', \\   n_{Z} E_{X0} \phi {F}'=n_{t} \phi H_{Y0} {F}', \\   E_{Y0} {\psi }'_{X} F+E_{X0} {\phi }'_{Y} F=0, \\   -H_{Y0} {\phi }'_{X} F+H_{X0} {\psi }'_{Y} F=0, \\   E_{X0} {\phi }'_{X} F-E_{Y0} {\psi }'_{Y} F=0, \\   H_{X0} {\psi }'_{X} F+H_{Y0} {\phi }'_{Y} F=0. \\   \end{array}} \right. \]

Из соотношений (19) или (20) с учетом условий Коши – Римана (2) можно получить соотношения для действительных коэффициентов в выражениях (17) или (18):

(21):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  E_{X0} =H_{Y0} ,E_{Y0} =H_{X0} , \\   n_{Z} =n_{t} \\   \end{array}} \right. \]

Составляющие электрического и магнитного полей представим в виде  составляющих векторов комплексной дифференцируемой функции в следующем виде соответственно для представления (17) и (18):

(22):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \overline E =E_{Y} +i\cdot E_{X} =E_{0} (\phi +i\cdot \psi )F, \\   \overline H =H_{Y} +i\cdot H_{X} =H_{0} (-\psi +i\cdot \phi )F. \\   \end{array}} \right. \]

(23):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \overline E =E_{X} +i\cdot E_{Y} =E_{0} (\phi -i\cdot \psi )F, \\   \overline H =H_{X} +i\cdot H_{Y} =H_{0} (-\psi -i\cdot \phi )F. \\   \end{array}} \right.\mbox{\, \, } \]

Где: E0=H0действительные амплитудные множители.

Вектора электрических и магнитных составляющих Т — полей ортогональны между собой и связаны следующими соотношениями  соответственно для представления (17) и (18), и (22) и (23):

(24-25):

    \[ i\cdot \overline E =\overline H ,{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, }-i\cdot \overline E =\overline H .}  \hfill \\ \end{array} } \]

Следовательно, любая дифференцируемая комплексная функция, удовлетворяющая условиям Коши – Римана (2), представляет некоторое переменное электромагнитное Т — поле по представлениям (17) или (18). Верно и обратное утверждение: любое переменное электромагнитное Т —  поле может быть представлено составляющими комплексной дифференцируемой функции, удовлетворяющей условиям Коши – Римана. При этом электрическое поле представляется как векторное поле, а магнитное поле – векторное поле, ему ортогональное. Это представление позволяет получать новые решения системы уравнений Максвелла в виде Т – полей и исследовать их свойства.

 

2. ГРУППОВОЕ ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ Т — РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

0

2. ЭТАПЫ ПОЛУЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ

Получение решений системы уравнений Максвелла, с использованием рассмотренных свойств, представим в виде следующих шагов.

  1. Выбираем некоторое известное решение.
  2. С помощью преобразования получаем другое решение. Преобразование выбираем из множества преобразований, переводящих одно решение в другое, т.е. из группы системы уравнений Максвелла. Как показано выше, такими преобразованиями являются дифференцируемые комплексные функции для Т-полей. В качестве преобразования может быть так же выбран член 17–параметрической непрерывной группы Ли [4] системы уравнений Максвелла.
  3. Для этого решения по известным методам строим семейство силовых линий магнитного и электрического полей для выбранного момента времени.
  4. Строим поверхность, для которой векторы магнитного поля будут касательными. Для такой поверхности силовые линии магнитного поля будут сечениями координатными поверхностями. Построенная так поверхность может быть заменена идеально проводящей поверхностью. Если положение этой поверхности не меняется с течением времени, то выбранное решение будет решением граничной задачи для построенной поверхности – силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны магнитным. Для одного решения может быть построено несколько вариантов таких поверхностей, следовательно, тогда выбранное решение будет решением для семейства граничных задач. Построенную так поверхность назовем поверхностью выполненных граничных условий. Преобразования с использованием комплексных функций хорошо изучены [7] и могут быть использованы для нахождения их собственных функций и поверхностей. Возможен и обратный путь – нахождение собственного решения для заданного профиля. В данной работе рассматривается первый вариант – нахождение собственной функции и ее семейства поверхностей с выполненными граничными условиями по выбранному преобразованию.

Рассмотрим применение этого подхода на следующих примерах.

ПРИМЕРЫ ПОЛУЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОТОБРАЖЕНИЕМ ОБЛАСТИ НА ОБЛАСТЬ

В соответствии с п.1 выбираем известное решение – плоскую однородную волну [1,2] в следующем представлении при EX0=HY0=0 в (21), (22):

(26):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \overline E =E_{Y0} \cdot F(z,t), \\   \overline H =i\cdot H_{X0} \cdot F(z,t). \\   \end{array}} \right.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill & {(26)} \hfill \\ \end{array} } \]

Семейство поверхностей выполненных граничных условий для плоской волны (26) является семейством плоскостей, перпендикулярных плоскости (x,y). 

В соответствии с п. 2, в качестве примера преобразования выбираем функцию, отображающую верхнюю полуплоскость на  плоскость с полосой высотой h, установленной вдоль оси z [7]:

(27):

    \[ \phi +i\cdot \psi =\sqrt {(n{x}'-i\cdot n{y}')^{2}-h^{2}}  .{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill & {(27)} \hfill \\ \end{array} } \]

В (27) n и h – действительные параметры.

Но функция (27) не  может быть разложена  на сумму действительной и мнимой составляющей рационально. Поэтому разложим функцию (27) в ряд Тейлора. Ограничиваясь тремя первыми членами и разделяя действительную и мнимую составляющие, получим следующее выражение:

(28):

    \[ \begin{array}{l}  \phi +i\cdot \psi \approx \\   \approx  \frac{1}{16h^{3}}(16h^{2}n^{2}{x}'{y}'+8n^{4}{x}'^{3}{y}'-8n^{4}{x}'{y}'^{3})-  \\   -i\cdot \frac{1}{16h^{3}}(16h^{4}-8h^{2}n^{2}{x}'^{2}+8h^{2}n^{2}{y}'^{2}-  \\   -2n^{4}{x}'^{4}+12n^{4}{x}'^{2}{y}'^{2}-2n^{4}{y}'^{4}).\mbox{\, \, } \\   \end{array} \]

Составляющие комплексной функции (27) входят в выражения (17) или (18) и совместно с ними определяют решение в виде Т – волны.

Построим силовые линии электромагнитного поля, лежащие в плоскости  (x,y). Для этого возведем обе части выражения (27) в квадрат, раскроем скобки. Приравняем между собой действительные и мнимые составляющие. Получим следующую систему уравнений:

(29):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \phi^{2}-\psi^{2}=n^{2}{x}'^{2}-n^{2}{y}'^{2}-h^{2}, \\   \phi \psi =n^{2}{x}'{y}'. \\   \end{array}} \right. \]

Для вывода уравнения силовых линий магнитного поля из второго уравнения системы (29) найдем x′ и результат подставим в первое уравнение системы (29). Полученное уравнение решим относительно φ:

(30):

    \[ \phi (\psi )=\sqrt {\frac{n^{2}\psi  ^{2}{y}'^{2}+n^{2}{y}'^{2}+h^{2}n^{2}{y}'^{2}}{n^{2}{y}'^{2}+\psi^{2}}.}  \]

Выражение (30) ψ(φ)  определяет семейство силовых линий магнитного поля при различных значениях параметра  y′.

Для вывода уравнения силовых линий электрического поля найдем y′ из второго уравнения системы (29) и результат подставим в первое уравнение системы (29). Полученное уравнение решим относительно φ:

(31):

    \[ \phi (\psi )=\sqrt {\frac{n^{4}{x}'^{4}-n^{2}{x}'^{2}h^{2}-\psi  ^{2}n^{2}{x}'^{2}}{\psi^{2}-n^{2}{x}'^{2}}} . \]

Выражение (31) ψ(φ) определяет семейство силовых линий электрического поля при различных значениях параметра x′. Графики семейства функций (30) и (31) показаны на рисунке 1. На рисунке 1 представлено сечение электромагнитного поля Т-волны  плоскостью (x,y). Пунктирными линиями обозначены силовые линии магнитного поля, сплошными – силовые линии электрического поля. В соответствии с п. 5, пунктирные линии являются сечениями семейства поверхностей выполненных граничных условий.

Одно ребро. Рис. 1

РИСУНОК 1.

Другой пример – функция, отображающая полупространство, ограниченное проводящей плоскостью, на полупространство, ограниченное проводящей плоскостью и установленной на ней решеткой из  полос одинаковой высоты с равным шагом   на плоскость [7]:

(32):

    \[ \phi +i\cdot \psi =\arccos (a\cos (n{x}'-i\cdot n{y}')). \]

В (32) a определяет высоту полос. Функция (32) так же не может быть представлена рационально в виде суммы действительных и мнимых составляющих. Поэтому для разложения на действительную и мнимую части разложим функцию (32) в функциональный ряд Тейлора и ограничимся тремя первыми членами:

(33):

    \[ \begin{array}{l}  \phi +i\cdot \psi \approx a\sin (nx)ch(ny)+ \\   +\frac{1}{6}a^{3}\sin^{3}(nx)ch^{3}(ny)- \\   -\frac{1}{2}a^{3}\sin (nx)ch(ny)\cos^{2}(nx)sh^{2}(ny)+ \\   +i\cdot [(-a)\cos (nx)sh(ny)- \\   -\frac{1}{2}a^{3}\sin^{2}(nx)ch^{2}(ny)\cos (nx)sh(ny)+ \\   +\frac{1}{6}a^{3}\cos^{3}(nx)sh^{3}(ny)]. \\   \end{array} \]

Так же как и (28),  составляющие комплексной функции (33) входят в выражения (17) или (18) и совместно с ними определяют решение в виде Т – волны.

Уже в этом случае аналитическое построение силовых линий вызывает трудности и требует применения вычислительных методов для выполнения п. 5, т.к. уравнение (32) является трансцендентным. На рисунке 2 представлено поле векторов магнитного поля в плоскости (x,y).    Электрическая компонента может быть получена в каждой точке плоскости сечения поворотом вектора магнитного поля на 90° по часовой стрелке,  либо против,  в соответствии с (24) или (25). Этот рисунок получен численным методом на основе разложения в ряд (33). Представление силовых линий электрического и магнитного поля так же может быть получено численными методами.

Решетка поперечных полос. Рис. 2

РИСУНОК 2.

Подобная задача рассматривалась, например, в работах [1,12], в которых решение получают путем сопряжения частных решений отдельных подобластей, на которые разделяют всю область решения. Недостаток такого подхода состоит в том, что должно быть непрерывно не только решение, но и все его первые частные производные. Но выполнение этих условий в полном объеме невозможно, т. к. система условий становится избыточной в областях сопряжения. Предлагаемый подход позволяет получить  решение с произвольной точностью. Действительно, остаточный член, определяющий ошибку представления ряда Тейлора,  в форме Коши [13]:

(34):

    \[ \begin{array}{l}  R_{n+1} (x+i\cdot y)= \\   =\frac{(x+i\cdot y)^{n+1}(1-\theta )^{n}}{n!}\times \\   \times (\phi +i\cdot \psi )^{(n+1)}(\theta \cdot (x+i\cdot y)), \\   \end{array} \]

где: Rn+1 – остаточный член, 0‹θ‹1- действительный параметр.

Компоненты φ и ψ конечны, и при выборе n достаточно большим, можно получить ошибку представления  Rn+1 сколь угодно малой.

Из имеющихся преобразований (28) и (33) с помощью операций теории функций комплексного переменного  могут быть получены и другие решения, описывающие электромагнитные  Т – поля. Данная работа является продолжением работы [14].

В заключение заметим, что представленный путь получения решений системы уравнений Максвелла позволяет получать и исследовать решения в конечном виде для широкого класса одно-связанных поперечно-однородных структур.

Рисунок 2 выполнил Кравчик Ю.Ю. с использованием специализированного оригинального программного обеспечения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  • Никольский Н.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978. – 543 с.
  • Вольман В.И., Пименов Ю.В. Техническая электродинамика. – М.: Связь, 1971. – 487с.
  • Князь А.И. Комплексные потенциалы трехмерных электрических и магнитных полей. – Киев – Одесса: Вища школа, !981. – 120 с.
  • Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 400с.
  • Кравчик Ю.С. Обобщение комплексных чисел и их применение в электродинамике // Праці УНДІРТ. – 2003. — №4(36).
  • Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. – М.: Наука, 1986. – 495с.
  • Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1982. – 488 с.
  • Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1977. – 504с.
  • Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. – Харьков.: Изд. Харьковского университета, 1972. –255с.
  1. Лифшиц М.С. Операторы, колебания, волны. Открытые системы. – М.: Наука, 1966. – 298с.
  2. Броль де Луи. Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах. – М.: Иностранная литература, 1948. — 108c.
  3. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. – М.: Изд. иностранной литературы, 1959. – 424с.
  4. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1.- М.: Наука, 1982. – 616с.
  5. Кравчик Ю.С. Нахождение решений  системы уравнений Максвела с использованием двумерных преобразований // Наукові праці УДАЗ ім. О.С. Попова.

 

 

1. ПРИМЕНЕНИЕ 3D-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

0

Кравчик Ю.С.

1. ПРИМЕНЕНИЕ 3D-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Кравчик Ю.С. ПРИМЕНЕНИЕ 3D 002 pdf

Данная статья относится к электродинамике. Традиционные методы точного расчета электромагнитного поля посредством преобразования систем координат [1] позволяют рассчитать поле в ограниченном числе случаев, а приближенные методы не всегда отвечают техническим потребностям расчета электромагнитных устройств и систем. Поэтому цель данной статьи – предложить метод получения 3-D-решений системы уравнений Максвелла на примерах получения решений вблизи ребристой структуры и поверхности 2-го порядка.

Будем искать такие 3-D-преобразования, которые преобразуют решение системы уравнений Максвелла в решение.

Запишем систему уравнений Максвелла [1,2] в системе единиц СИ в следующем виде:

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \frac{\partial E_{Z} }{\partial y}-\frac{\partial E_{Y} }{\partial z}+\mu  \frac{\partial H_{X} }{\partial t}+\frac{\partial \beta }{\partial  x}=0,\mbox{\, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(1)} \hfill \\ \end{array} } \\   -\frac{\partial E_{Z} }{\partial x}+\frac{\partial E_{X} }{\partial z}+\mu  \frac{\partial H_{Y} }{\partial t}+\frac{\partial \beta }{\partial  y}=0,{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(2)} \hfill \\ \end{array} } \\   \frac{\partial E_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial E_{X} }{\partial y}+\mu  \frac{\partial H_{Z} }{\partial t}+\frac{\partial \beta }{\partial  z}=0,\mbox{\, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(3)} \hfill \\ \end{array} } \\   \frac{\partial H_{Z} }{\partial y}-\frac{\partial H_{Y} }{\partial  z}-\varepsilon \frac{\partial E_{X} }{\partial t}-\frac{\partial \alpha  }{\partial x}=0,\mbox{\, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(4)} \hfill \\ \end{array} } \\   -\frac{\partial H_{Z} }{\partial x}+\frac{\partial H_{X} }{\partial  z}-\varepsilon \frac{\partial E_{Y} }{\partial t}-\frac{\partial \alpha  }{\partial y}=0,\mbox{\, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(5)} \hfill \\ \end{array} } \\   \frac{\partial H_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial H_{X} }{\partial  y}-\varepsilon \frac{\partial E_{Z} }{\partial t}-\frac{\partial \alpha  }{\partial z}=0,\mbox{\, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(6)} \hfill \\ \end{array} } \\   \frac{\partial E_{X} }{\partial x}+\frac{\partial E_{Y} }{\partial  y}+\frac{\partial E_{Z} }{\partial z}-\frac{1}{\varepsilon }\frac{\partial  \alpha }{\partial t}=0,\mbox{\, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(7)} \hfill \\ \end{array} } \\   \frac{\partial H_{X} }{\partial x}+\frac{\partial H_{Y} }{\partial  y}+\frac{\partial H_{Z} }{\partial z}-\frac{1}{\mu }\frac{\partial \beta  }{\partial t}=0.\mbox{\, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(8)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array}} \right. \]

Где: EX,EY,EZ,HX,HY,HZ – соответственно, составляющие электрического и магнитного полей, α и β, соответственно, электрический и магнитный потенциалы [2], x,y,z и t — пространственные и временная переменные. Следует учитывать, что представления магнитных и электрических потенциалов α и β могут меняться ролями вследствие симметрии перестановки между магнитным и электрическим полями [6]. В системе единиц Хэвисайда электрическая и магнитная проницаемости равны единице: ε=μ=1

Рассмотрим следующую задачу. Пусть задана функция — решение F(x,y,z,t) системы уравнений Максвелла (1)-(8) и некоторое преобразование f системы координат:

(9):

    \[ f(x,y,z,t)=({x}',{y}',{z}',{t}'),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(9)} \hfill \\ \end{array} } \]

где: x′,y′,z и t новые пространственные и временная координаты.

Тогда при каких условиях функция F(f) так же является решением системы уравнений Максвелла.

Или, другими словами, какие функции преобразования системы координат переводят решение системы уравнений Максвелла в решение, или, сокращенно, являются допустимыми преобразованиями.

В [2] предложены М-числа — вариант 8-мерного обобщения комплексных чисел. Их свойства выбраны так, что условия дифференцирования функций над ними (М-функций) тождественны системе уравнений Максвелла. Рассмотрим М-фнкции [2] как аналог комплексных функций. В случае комплексных функций допустимыми преобразованиями являются преобразования, которые сами удовлетворяют условиям Коши-Римана [4]. Рассуждая по аналогии, следует предположить, что в случае М-функций допустимыми преобразованиями являются функции, удовлетворяющие условиям дифференцирования, или уравнениям Максвелла. Следовательно, решения системы уравнений Максвелла с учетом двулистности значений следует рассматривать как преобразования системы координат следующего вида:

(10):

    \[ \begin{array}{l}  \lambda =(x,y,z,t)\buildrel f \over \longrightarrow  ({x}',{y}',{z}',{t}',{X}',{Y}',{Z}',{T}')= \\   =(E_{X} ,E_{Y} ,E_{Z} ,\alpha ,H_{X} ,H_{Y} ,H_{Z} ,\beta )={\lambda  }'+{\Lambda }', \\   \end{array} \]

 

где: X, ́Y, ́Z, ́T ́- пространственные и временная переменные листа Λ ́ большой переменной [2], λ ́- лист малой переменной.

Следовательно, решением рассматриваемой задачи будет следующее утверждение. Сложная функция F(f) принадлежит области решений системы уравнений Максвелла, если F(λ) и f(λ) принадлежат области решений системы уравнений Максвелла. Другим словами, сложная функция принадлежит области решений системы уравнений Максвелла, если ее составляющие функции принадлежат той же области.

Справедливость этого утверждения проверяется непосредственной проверкой в системе единиц Хэвисайда. Действительно, проверим сохранение первого уравнения (1) системы уравнений Максвелла. Его компоненты (1) при преобразовании (9) изменятся следующим образом:

(11):

    \[ \frac{\partial E_{Z} }{\partial {y}'}=\frac{\partial E_{Z} }{\partial  x}\frac{\partial x}{\partial {y}'}(1)+\frac{\partial E_{Z} }{\partial  y}\frac{\partial y}{\partial {y}'}(2)+\frac{\partial E_{Z} }{\partial  z}\frac{\partial z}{\partial {y}'}(3)+\frac{\partial E_{Z} }{\partial  t}\frac{\partial t}{\partial {y}'}(4),\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \,  }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(11)} \hfill \\ \end{array} } \]

(12):

    \[ -\frac{\partial E_{Y} }{\partial {z}'}=-\frac{\partial E_{Y} }{\partial  x}\frac{\partial x}{\partial {z}'}(4)-\frac{\partial E_{Y} }{\partial  y}\frac{\partial y}{\partial {z}'}(3)-\frac{\partial E_{Y} }{\partial  z}\frac{\partial z}{\partial {z}'}(2)-\frac{\partial E_{Y} }{\partial  t}\frac{\partial t}{\partial {z}'}(1),\mbox{\, \, \, \, \,  }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(12)} \hfill \\ \end{array} } \]

(13):

    \[ \frac{\partial H_{X} }{\partial {t}'}=\frac{\partial H_{X} }{\partial  x}\frac{\partial x}{\partial {t}'}(3)+\frac{\partial H_{X} }{\partial  y}\frac{\partial y}{\partial {t}'}(4)+\frac{\partial H_{X} }{\partial  z}\frac{\partial z}{\partial {t}'}(1)+\frac{\partial H_{X} }{\partial  t}\frac{\partial t}{\partial {t}'}(2), \]

(14):

    \[ \frac{\partial \beta }{\partial {x}'}=\frac{\partial \beta }{\partial  x}\frac{\partial x}{\partial {x}'}(2)+\frac{\partial \beta }{\partial  y}\frac{\partial y}{\partial {x}'}(1)+\frac{\partial \beta }{\partial  z}\frac{\partial z}{\partial {x}'}(4)+\frac{\partial \beta }{\partial  t}\frac{\partial t}{\partial {x}'}(3).\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(14)} \hfill \\ \end{array} } \]

Здесь индексы (1)-(4) в круглых скобках означают члены суммы, которые будем группировать между собой. Тогда правые множители слагаемых с одинаковыми индексами равны между собой с точностью до действительного множителя, т.к. являются компонентами общего решения системы уравнений Максвелла. После группирования их можно вынести как равные множители за скобки. Получим сумму решений уравнений Максвелла с нулевыми результатами. Например, сумма составляющих с индексом (2) из (11)-(14) даст следующий результат:
(15):

    \[ \left( {\frac{\partial E_{Z} }{\partial y}-\frac{\partial E_{Y} }{\partial  z}+\frac{\partial \beta }{\partial x}+\frac{\partial H_{X} }{\partial t}}  \right)\left( {\frac{\partial x}{\partial {x}'}+\frac{\partial y}{\partial  {y}'}+\frac{\partial z}{\partial {z}'}+\frac{\partial t}{\partial {t}'}}  \right)\frac{1}{4}=0\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }(15) \]

вследствие уравнения (7) системы уравнений Максвелла (1)-(8). Остальные составляющие дадут нулевую сумму вследствие условий (1)-(8). Например, следующие составляющие:

(16):

    \[ \frac{\partial E_{Z} }{\partial x}\frac{\partial x}{\partial  {y}'}+\frac{\partial \beta }{\partial y}\frac{\partial y}{\partial  {x}'}=\frac{\partial E_{Z} }{\partial x}\left( {\frac{\partial x}{\partial  {y}'}+\frac{\partial y}{\partial {x}'}} \right)\equiv  0,{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(16)} \hfill \\ \end{array} } \]

образует нулевую сумму. Действительно,

    \[ \frac{\partial E_{Z} }{\partial x}=\frac{\partial \beta }{\partial y} \]

вследствие (2), и

    \[ \frac{\partial x}{\partial {y}'}=-\frac{\partial y}{\partial {x}'} \]

вследствие (3), т.к. ротор образует ненулевую комбинацию для электромагнитного поля. Если ротор образует нулевую комбинацию, то такая компонента не принадлежит электромагнитному полю, выпадает из области решений системы уравнений Максвелла и не участвует в электромагнитной индукции [3].

Аналогично проверяется выполнение других уравнений системы уравнений Максвелла (1)-(8). Хотя, достаточно проверки для одного уравнения, поскольку остальные уравнения первой пары системы уравнений Максвелла тождественны между собой с точностью до преобразования из группы поворота на 90° или применения группы преобразования Е→Н→(-Е).

Доказанное свойство решений системы уравнений Максвелла используем для получения новых решений. Рассмотрим это на следующих примерах.

 

 

 

 

 

 

2. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ 3-D РЕШЕНИЙ В ПОПЕРЕЧНО-ОДНОРОДНЫХ СТРУКТУТАХ

0

2. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ 3-D РЕШЕНИЙ В ПОПЕРЕЧНО-ОДНОРОДНЫХ СТРУКТУТАХ

Ранее в работе [3] рассматривались примеры получения Т- решений системы уравнений Максвелла с использованием комплексных функций. Рассмотрим примеры получения существенно трехмерных решений с использованием комплексных функций как частного и упрощенного случая 3-D-преобразования.

Пусть задана комплексная функция f(x,y), удовлетворяющая условиям Коши-Римана [4], отображающая некоторую область (x,y) на верхнюю полуплоскость комплексной плоскости (x ́,y ́):

(17):

    \[ f(x,y)=({x}',{y}').{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(17)} \hfill \\ \end{array} } \]

 

Экспоненциальная функция exp(λ) М-аргумента может рассматриваться как функция, отображающая верхнее полупространство в область 4-куба значений [2]. Функция exp(λ) определяет множество решений в виде электрических и магнитных функций для прямоугольного резонатора [1,2], а так же для верхнего полупространства над проводящей плоскостью вследствие выполнения граничных условий [1]. Поэтому сложная функция

    \[ \exp ({x}',{y}',z,t) \]

так же будет решением системы уравнений Максвелла для некоторой поперечно-однородной структуры, сечение которой определяет функция f(x,y). При этом функция f(x,y) отображает некоторую область на верхнюю полуплокость комплексной плоскости.

В качестве примера рассмотрим комплексную функцию f-1(x,y), преобразующую верхнюю полуплоскость комплексного пространства на полуплоскость с установленными на ней равноотстоящими ребрами [4,5]. Обратную ей комплексную функцию f(x,y)представим в следующем виде:

(18):

    \[ f(x+i\cdot y)=\arccos \left( {\frac{1}{a}\cos (x+i\cdot y)}  \right)=({x}'+i\cdot {y}'),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(18)} \hfill \\ \end{array} } \]

где: a – действительный параметр задачи, i — мнимая единица.

Функцию f(x,y) (18) будем трактовать не как Т-поле [5], а как функцию, описывающую преобразование (x,y) →(x‘,y‘) [4].

Тогда следующая функция будет 3-D-решением для исходной области:

(19):

    \[ \begin{array}{l}  \exp ({\lambda }')=\exp (i\cdot {x}'+j\cdot {y}'+k\cdot z+I\cdot t)=\exp  (({x}'+k\cdot {y}')\cdot i+k\cdot z+I\cdot t)= \\   =\exp (f(x+k\cdot y)\cdot i+k\cdot z+I\cdot t)= \\   =\exp \left( {\left( {\arccos \frac{1}{a}\cos (x+k\cdot y)} \right)\cdot  i+k\cdot z+I\cdot t} \right). \\   \end{array} \]

 

Где: i,j,k – кватернионные мнимые единицы, I – коммутативная мнимая единица [2].

Функцию arcos(x+iy) нельзя представить в конечном виде в виде суммы действительной и мнимой составляющей. Поэтому для ее вычисления воспользуемся разложением в степенной ряд с тремя членами [5]:

(20):

    \[ \begin{array}{l}  \exp ({\lambda }')\approx \exp \left\{ \right.\left\{  \right.\frac{1}{a}\sin (x)ch(y)+\frac{1}{6}\left( {\frac{1}{a}}  \right)^{3}\sin^{3}(x)ch^{3}(y)- \\   -\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\sin (x)ch(y)\cos  ^{2}(x)sh^{2}(y)+k\cdot [(-\frac{1}{a})\cos (x)sh(y)- \\   -\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\sin^{2}(x)ch^{2}(y)\cos  (x)sh(y)+\frac{1}{6}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\cos  ^{3}(x)sh^{3}(y)]\left. \right\} \cdot i+k\cdot z+I\cdot t\left. \right\} =  \\   =\exp \left\{ {\left\{ {{x}'+k\cdot {y}'\left. \right\} \cdot i+k\cdot  z+I\cdot t} \right.} \right\}.{\begin{array}{*{20}c}  {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }} \hfill & \hfill & {(20)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

После этого определим решение для данной задачи, представив экспоненциальную функцию через аналоги формулы Эйлера [2]:

(21):

    \[ \begin{array}{l}  \exp ({\lambda }')=(\cos {x}'+i\cdot \sin {x}')(\cos {y}'+j\cdot \sin  {y}')\times \\   \times (\cos {z}'+k\cdot \sin {z}')(\cos {t}'+I\cdot \sin {t}')= \\   =\cos {t}'\cos {x}'\cos {y}'\cos {z}'-\cos {t}'\sin {x}'\sin {y}'\sin {z}'+  \\   +i\cdot (\cos {t}'\sin {x}'\cos {y}'\cos {z}'+\cos {t}'\cos {x}'\sin  {y}'\sin {z}')+ \\   +j\cdot (\cos {t}'\cos {x}'\sin {y}'\cos {z}'-\cos {t}'\sin {x}'\cos  {y}'\sin {z}')+ \\   +k\cdot (\cos {t}'\cos {x}'\cos {y}'\sin {z}'+\cos {t}'\sin {x}'\sin  {y}'\cos {z}')+ \\   +I\cdot (\sin {t}'\cos {x}'\cos {y}'\cos {z}'-\sin {t}'\sin {x}'\sin  {y}'\sin {z}')+\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\   +Ii\cdot (\sin {t}'\sin {x}'\cos {y}'\cos {z}'+\sin {t}'\cos {x}'\sin  {y}'\sin {z}')+ \\   +Ij\cdot (\sin {t}'\cos {x}'\sin {y}'\cos {z}'-\sin {t}'\sin {x}'\cos  {y}'\sin {z}')+ \\   +Ik\cdot (\sin {t}'\cos {x}'\cos {y}'\sin {z}'+\sin {t}'\sin {x}'\sin  {y}'\cos {z}')= \\   ={\alpha }'+i\cdot {E}'_{X} +j\cdot {E}'_{Y} +k\cdot {E}'_{Z} +I\cdot  {\beta }'+Ii\cdot {H}'_{X} +Ij\cdot {H}'_{Y} +Ik\cdot {H}'_{Z} , \\   \end{array} \]

 

где: x и yопределяются из (20), z‘=z,t‘=t.

Составляющие действительная и мнимые компоненты (21) представляют компоненты электрического и магнитного полей и потенциалов.

Полный спектр решений в виде электрических и магнитных функций определяется численно после введения размерностных и амплитудных коэффициентов в формулу (21) и подстановки ее компонент в систему уравнений Максвелла, записанную в системе единиц СИ (1)-(8), где ε и μ не равны единице.

Граничные условия для функции (19) запишем в следующем виде аналогично [1]:

(22):

    \[ \arccos \left( {\frac{1}{a}\cos (x+i\cdot y)} \right)\cdot i+k\cdot z=\left(  {m_{X} \pi x+k\cdot m_{Y} \pi y} \right)\cdot i+k\cdot m_{Z} \pi  z.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(22)} \hfill \\ \end{array} } \]

 

 

Где: mX, mY ,mZ – целочисленные параметы, определяющие границы ячеек, на которые разбивается область с ребрами и проводящей плоскостью. В каждой ячейке присутствует спектр электрических и магнитных функций, аналогичных прямоугольному резонатору с учетом их преобразования по выражению (18). В случае представления функции arccos в ряд с тремя членами, получим следующее уравнение:

(23):

    \[ \left\{ \right.\frac{1}{a}\sin (x)ch(y)+\frac{1}{6}\left( {\frac{1}{a}}  \right)^{3}\sin^{3}(x)ch^{3}(y)- \]

    \[ -\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\sin (x)ch(y)\cos  ^{2}(x)sh^{2}(y)+k\cdot [(-\frac{1}{a})\cos (x)sh(y)- \]

    \[ \begin{array}{l}  -\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\sin^{2}(x)ch^{2}(y)\cos  (x)sh(y)+ \\   +\frac{1}{6}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\cos^{3}(x)sh^{3}(y)]\left.  \right\} \cdot i+k\cdot z= \\   \end{array} \]

    \[ =i\cdot {x}'+j\cdot {y}'+k\cdot z= \]

    \[ =\left( {m_{X} \pi x+k\cdot m_{Y} \pi y} \right)\cdot i+k\cdot m_{Z} \pi z. \]

 

 

В случае прямоугольного резонатора, это прямоугольные клетки, которыми режется верхнее полупространство на ячейки прямоугольных резонаторов. В случае (20)-(23) – это некоторые цилиндрические поверхности. Заметим без доказательства, что решение (18)-(21) вместе с решением [5] образуют между собой ортогональную систему функций аналогично тому, как поперечная однородная волна и решение для прямоугольного резонатора являются ортогональными и собственными функциями в полупространстве над плоской проводящей поверхностью.

Данный пример показывает возможность получения 3-D решений с использованием двумерных преобразований.

 

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА

0

 

 

 

 

 

 

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА

Определение компонент электромагнитного поля в конечном виде возможно только в простейших случаях. В более сложных случаях представление электромагнитного поля в виде координатных составляющих требует разложения в степенной ряд. Поэтому из всех членов ряда рассмотрим линейную и квадратичную составляющие разложения и выясним их характеристики как полевого решения и геометрического преобразования системы координат.

Рассмотрим следующую линейную М – функцию f(λ):

(24):

    \[ \begin{array}{l}  f(\lambda )=\lambda A=(i\cdot x+j\cdot y+k\cdot z+I\cdot t)(i\cdot a+j\cdot  b+k\cdot c+I\cdot d)= \\   =(-ax-by-cz-dt)+i\cdot (cy-bz)+j\cdot (az-cx)+k\cdot (bx-ay)+ \\   +I\cdot 0+Ii\cdot (dx+at)+Ij\cdot (dy+bt)+Ik\cdot (dz+ct)=\mbox{\, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(24)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

    \[ \begin{array}{l}  =\alpha +i\cdot H_{X} +j\cdot H_{Y} +k\cdot H_{Z} +Ii\cdot (-E_{X}  )+Ij\cdot (-E_{Y} )+Ik\cdot (-E_{Z} )= \\   ={T}'+i\cdot {x}'+j\cdot {y}'+k\cdot {z}'+Ii\cdot {X}'+Ij\cdot {Y}'+Ik\cdot  {Z}', \\   \end{array} \]

где: a,b,c и dдействительные параметры.

Подстановка составляющих электромагнитного поля (24) в систему уравнений Максвелла (1)-(8) в системе единиц Хэвисайда, как нетрудно проверить, дает тождество. Такое поле имеет следующий физический смысл. Электрическая составляющая E (24) и электрический потенциал α линейно изменяются во времени и пространстве. Магнитная составляющая H перпендикулярна электрической и постоянна во времени.

Рассмотрим (24) как системы преобразования координат двух видов. Первый вариант λ→λ’ преобразования по (10) и (24) соответствует повороту координатных осей:

(25):

    \[ i\cdot x+j\cdot y+k\cdot z=\lambda \to {\lambda }'=i\cdot (cy-bz)+j\cdot  (az-cx)+k\cdot (bx-ay).\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(25)} \hfill \\ \end{array} } \]

Второй вариант λ→Λ’ преобразования по (10) и (24) соответствует переходу к движущейся системе координат с соответствующим изменением масштаба временной координаты и соответствует преобразованию Лоренца [2]:

(26):

    \[\lambda \to {\Lambda }'=(-ax-by-cz-dt)+Ii\cdot (dx+at)+Ij\cdot (dy+bt)+Ik\cdot (dz+ct).\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(26)} \hfill \\\end{array} }\]

Следующей  рассмотрим вариант квадратичной функции:

(27):

    \[\begin{array}{l} F(\lambda )=\lambda (\lambda A)=-x(cy-bz)-y(az-cx)-z(bx-ay)+ \\ +i\cdot \left( {x(-ax-by-cz-dt)-z(az-cx)+y(bx-ay)-t(dx+at)} \right)+ \\ +j\cdot \left( {y(-ax-by-cz-dt)+z(cy-bz)-x(bx-ay)-t(dy+bt)} \right)+ \\ +k\cdot \left( {z(-ax-by-cz-dt)-y(cy-bz)+x(az-cx)-t(dz+ct)} \right)+{\begin{array}{*{20}c} \hfill & ( \hfill \\\end{array} }27) \\ +I\cdot \left( {t(-ax-by-cz-dt)-x(dx+at)-y(dy+bt)-z(dz+ct)} \right)+ \\ +Ii\cdot \left( {t(cy-bz)+y(dz+ct)-z(dy+bt)} \right)+ \\ +Ij\cdot \left( {t(az-cx)+z\left( {dx+at} \right)-x(dz+ct} \right))+ \\ +Ik\cdot \left( {t(bx-ay)-y(dx+at)+x(dy+bt)} \right)= \\ ={T}'+i\cdot {x}'+j\cdot {y}'+{k}'\cdot {z}'+I\cdot {t}'+Ii\cdot {X}'+Ij\cdot {Y}'+Ik\cdot {Z}'={\lambda }'+{\Lambda }'. \\ \end{array}\]

Компоненты функции (27) записаны в системе единиц Хэвисайда. Рассмотрим функцию (27) как представление электромагнитного поля. Для перехода в систему единиц СИ необходимо ввести размерностные и амплитудные коэффициенты с учетом соответствия составляющих функции и составляющих электромагнитного поля [2]:

(28):

    \[ \begin{array}{l}  F(\lambda )=\lambda (\lambda A)=\alpha_{0} (-n_{X} x(cn_{Y} y-bn_{Z}  z)-n_{Y} y(an_{Z} z-cn_{X} x)- \\   -n_{Z} z(bn_{X} x-an_{Y} y)+ \\   +i\cdot H_{X0} \left( {\begin{array}{l}  n_{X} x(-an_{X} x-bn_{Y} y-cn_{Z} z-d\omega t)- \\   -n_{Z} z(an_{Z} z-cn_{X} x)+n_{Y} y(bn_{X} x-an_{Y} y)-\omega t(dn_{X}  x+a\omega t) \\   \end{array}} \right)+ \\   +j\cdot H_{Y0} \left( {\begin{array}{l}  n_{Y} y(-an_{X} x-bn_{Y} y-cn_{Z} z-d\omega t)+ \\   +n_{Z} z(cn_{Y} y-bn_{Z} z)-n_{X} x(bn_{X} x-an_{Y} y)-\omega t(dn_{Y}  y+b\omega t) \\   \end{array}} \right)+ \\   +k\cdot H_{Z0} \left( {\begin{array}{l}  n_{Z0} z(-an_{X} x-bn_{Y} y-cn_{Z} z-d\omega t)- \\   -n_{Y} y(cn_{Y} y-bn_{Z} z)+n_{X} x(an_{Z} z-cn_{X} x)-\omega t(dn_{Z}  z+c\omega t) \\   \end{array}} \right)+ \\   +I\cdot \beta_{0} \left( {\begin{array}{l}  \omega t(-an_{X} x-bn_{Y} y-cn_{Z} z-d\omega t)- \\   -n_{X} x(dn_{X} x+a\omega t)-n_{Y} y(dn_{Y} y+b\omega t)-n_{Z} z(dn_{Z}  z+c\omega t) \\   \end{array}} \right)- \\   -Ii\cdot E_{X0} \left( {\omega t(cn_{Y} y-bn_{Z} z)+n_{Y} y(dn_{Z}  z+c\omega t)-n_{Z} z(dn_{Y} y+b\omega t)} \right)- \\   -Ij\cdot E_{Y0} \left( {\omega t(an_{Z} z-cn_{X} x)+n_{Z} z\left( {dn_{X}  x+a\omega t} \right)-n_{X} x(dn_{Z} z+c\omega t} \right))- \\   -Ik\cdot E_{Z0} \left( {\omega t(bn_{X} x-an_{Y} y)-n_{Y} y(dn_{X}  x+a\omega t)+n_{X} x(dn_{Y} y+b\omega t)} \right). \\   \end{array} \]

 

Где: nX , nY, nZ ,ω – размерностные действительные коэффициенты, HX0, HY0, HZ0, EX0, EY0, EZ0  амплитудные действительные коэффициенты.

Подстановка составляющих (28) в систему уравнений Максвелла, записанную в системе единиц СИ (1)-(8) дает следующие соотношения:

(29):

    \[\left\{ {\begin{array}{l} E_{Z0} n_{Y} +E_{Y0} n_{Z} =\mu H_{X0} \omega , \\ E_{Z0} n_{X} +E_{X0} n_{Z} =\mu H_{Y0} \omega , \\ E_{Y0} n_{X} +E_{X0} n_{Z} =\mu H_{Z0} \omega , \\ H_{Y0} n_{Z} =\varepsilon E_{X0} \omega , \\ H_{Z0} n_{Y} =\varepsilon E_{X0} \omega , \\ H_{X0} n_{Y} =\varepsilon E_{Z0} \omega , \\ H_{Y0} n_{X} =\varepsilon E_{Z0} \omega , \\ H_{X0} n_{Z} =\varepsilon E_{Y0} \omega , \\ H_{Z0} n_{X} =\varepsilon E_{Y0} \omega , \\ -2H_{X0} n_{X} +H_{Y0} n_{Y} +H_{Z0} n_{Z} =0, \\ -2H_{Y0} n_{Y} +H_{X0} n_{X} +H_{Z0} n_{Z} =0, \\ -2H_{Z0} n_{Z} +H_{X0} n_{X} +H_{Y0} n_{Y} =0, \\ d(H_{X0} n_{X} +H_{Y0} n_{Y} +H_{Z0} n_{Z} )=0. \\ \end{array}} \right.{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(29)} \hfill \\\end{array} }\]

Из (29) получим следующие соотношения:

(30):

    \[\begin{array}{l} E_{X0} =E_{Y0} =E_{Z0} =E_{0} , \\ H_{X0} =H_{Y0} =H_{Z0} =H_{0} , \\ d=\alpha_{0} =\beta_{0} =0, \\ n_{X} =n_{Y} =n_{Z} =n,\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(30)} \hfill \\\end{array} } \\ \frac{2n^{2}}{\omega^{2}}=\varepsilon \mu . \\ \end{array}\]

Рассмотрим функцию (27) как два варианта преобразования системы координат. Первый из них соответствует преобразованию листа малой переменной на лист малой переменной [2]:

(31):

    \[i\cdot x+j\cdot y+k\cdot z+I\cdot t=\lambda \to {\lambda }'=\]

    \[\begin{array}{l} =i\cdot \left( {x(-ax-by-cz-dt)-z(az-cx)+y(bx-ay)-t(dx+at)} \right)+ \\ +j\cdot \left( {y(-ax-by-cz-dt)+z(cy-bz)-x(bx-ay)-t(dy+bt)} \right)+{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(31)} \hfill \\\end{array} } \\ +k\cdot \left( {z(-ax-by-cz-dt)-y(cy-bz)+x(az-cx)-t(dz+ct)} \right)+ \\ +I\cdot \left( {t(-ax-by-cz-dt)-x(dx+at)-y(dy+bt)-z(dz+ct)} \right)+ \\ \end{array}\]

Второй вариант преобразования соответствует преобразованию листа малой переменной на  лист большой переменной [2]:

(32):

    \[i\cdot x+j\cdot y+k\cdot z+I\cdot t=\lambda \to {\Lambda }'=\]

    \[=-x(cy-bz)-y(az-cx)-z(bx-ay)+\]

    \[+Ii\cdot \left( {t(cy-bz)+y(dz+ct)-z(dy+bt)} \right)+\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(32)} \hfill \\\end{array} }\]

    \[+Ij\cdot \left( {t(az-cx)+z\left( {dx+at} \right)-x(dz+ct} \right))+\]

    \[+Ik\cdot \left( {t(bx-ay)-y(dx+at)+x(dy+bt)} \right).\]

На основе квадратичных преобразований (31) и (32) возможно получение  новых решений системы уравнений Максвелла. В качестве примера запишем показательные функции

(33):

    \[F_{1} (\lambda )=\exp ({\lambda }'),{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(33)} \hfill \\\end{array} }\]

(34):

    \[F_{2} (\lambda )=\exp ({\Lambda }').{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(34)} \hfill \\\end{array} }\]

Представляя показательные функции (33) и (34) аналогами формулы Эйлера [2] (21), с учетом значений штрихованных переменных (31) и (32), получим покомпонентное представление функций F1 и F2. В этом случае компоненты электромагнитного поля записываются в конечном разделенном виде. Свойства решений (33) и (34) (и (28)) требуют отдельного рассмотрения. Здесь заметим, что эти решения не стационарны – все компоненты и характеристики смещаются во времени. Определение граничных условий для функций (33) и (34) позволяет определить поверхности выполненных граничных условий [5], вдоль которых возможно выкладывание проводящих поверхностей. Граничные условия определяются  из следующих уравнений для функции (33):

(35):

    \[\left\{ {\begin{array}{l} \left( {x(-ax-by-cz-dt)-z(az-cx)+y(bx-ay)-t(dx+at)} \right)=m_{X} \pi x, \\ \left( {y(-ax-by-cz-dt)+z(cy-bz)-x(bx-ay)-t(dy+bt)} \right)=m_{Y} \pi y,{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(35)} \hfill \\\end{array} } \\ \left( {z(-ax-by-cz-dt)-y(cy-bz)+x(az-cx)-t(dz+ct)} \right)=m_{Z} \pi z. \\ \end{array}} \right.\]

Для функции (34) граничные условия будут аналогичными с учетом (32):

(36):

    \[\left\{ {\begin{array}{l} \left( {t(cy-bz)+y(dz+ct)-z(dy+bt)} \right)=m_{X} \pi x, \\ (t(az-cx)+z(dx+at)-x(dz+ct))=m_{Y} \pi y, \\ (t(bx-ay)-y(dx+at)+x(dy+bt))=m_{Z} \pi z. \\ \end{array}} \right.{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(36)} \hfill \\\end{array} }\]

Как видно из (35) и (36), поверхности будут смещаться во времени, т.к. зависят от t как от параметра. Следовательно, граничные условия, выполненные в один момент времени, не будут выполняться  через некоторое время. Поэтому выполнение граничных условий можно считать выполненными только условно (приближенными) или в фиксированный момент времени. Через некоторый промежуток времени граничные условия могут выполниться снова. Вследствие этого электромагнитное поле при выполнении граничных условий будет распространяться в  таком волноводе с малым затуханием, а при их нарушении – с большим. Это должно приводить к амплитудной модуляции электромагнитного поля.

Описанное решение позволяет точно рассчитать электромагнитное поле вблизи поверхности 2-го порядка.

Аналогично выше изложенному, можно получить покомпонентное представление других функций целой степени n, например, вида:

(37):

    \[f(\lambda )=\lambda^{n}(\lambda A).{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(37)} \hfill \\\end{array} }\]

Такие решения хотя и достаточно громоздки, но могут быть получены в конечном виде.

Описанный метод получения 3-D-решений путем использования сложных М-функций и преобразований систем координат позволяет получать новые преобразования и решения системы уравнений Максвелла и расширяет возможности их точного расчета. В том случае, когда эти преобразования обратимы, повторное применение  прямого и обратного преобразования эквивалентно единичному преобразованию. В этом случае такое преобразование образует группу преобразований [5]. Так как предложенные преобразования почти всегда обратимы, то они увеличивают число собственных групповых преобразований системы уравнений Максвелла. Это позволяет неограниченно расширять число точных решений системы уравнений Максвелла.

 

 

Литература:

  • Никольский Н.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978. – 543 с.
  • Кравчик Ю.С. Обобщение комплексных чисел и их применение в электродинамике // Праці УНДІРТ. – 2003. — №4(36).
  • Кравчик Ю.С. Метод введения неэлектромагнитных полей в электромагнитную теорию Максвелла // ПраціУНДІРТ. – 2002. — №1(29). – С 52 – 57.
  • Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1982. – 488 с.
  • Кравчик Ю. С. Применение группового двумерного преобразования для получения Т- решений однородной системы уравнений Максвелла // Mat. The science: theory and practice 2005. V.26. Science. Pb. House. Praga, 2005 – с 31-34.
  • Фушич В.И., Никитин Ф.Г. Симметрия уравнений Максвелла. – Киев: Наукова думка, 1983. – 200 с.

 

  • Подпишитесь на новости

  • Твиттер

  • Кликните на банер

Вверх