В данной статье везде под словом «поле» будем понимать дифференцируемую функцию, описывающую данное поле.

Электромагнитное поле описывается решениями системы уравнений Максвелла [1]. Будем рассматривать такие пространственно-временные структуры электрических (или магнитных) полей, которые не являются составляющими решения системы уравнений Максвелла. Для таких полей электромагнитная теория не полна и требует математического дополнения.

Действительно, уравнение баланса мощности [1], в рамках электромагнитной теории Максвелла, не может быть выполнено, если присутствует, например, только электрическое поле Е, а магнитное поле Н равно нулю или не определено. Тогда баланс мощности для электромагнитного поля нарушается:

(1):

      \[ 0\equiv div\left[ {\overline {E,} } \right.\left. {\overline Н } \right]\ne  -g_{E0} \overline E \frac{\partial \overline E }{\partial t}-g_{H0}  \overline Н \frac{\partial \overline Н }{\partial t}-\overline {J_{E} }  \overline E \ne 0.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill & {\left( 1 \right)} \hfill \\ \end{array} } \]

Здесь: — векторы напряженностей, соответственно, электрического и магнитного полей, gE0, gH0 — постоянные проницаемости среды, соответственно, для электрического и магнитного полей, JE –пространственная плотность электрического тока, t – переменная времени. Для выполнения закона сохранения энергии для таких полей теоретически необходимо ввести неэлектромагнитные поля, с которыми будет осуществлятся баланс мощности электрического (или магнитного) поля без магнитного (или электрического) поля. Одно переменное электричекое поле не может обеспечить баланс мощности и закон сохранения энергии (1). Следовательно, необходимо расширение аксиоматической системы электродинамики, которое  возможно вследствии ее неполноты по Геделю [2].

Магнитное (или электрическое) поле будет отсутствовать (“выключено”), если компоненты операторов системы уравнений Максвелла или сами операторы образуют тождественно нулевую комбинацию при некоторой пространственно — временной структуре электрического поля Е. Это возможно в следующих случаях:

(2):

      \[ \begin{array}{l}  \left\{ {\begin{array}{l}  \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{L} }-\frac{\partial E_{L} }{\partial  x_{I} }\equiv 0,\mbox{\, \, \, } \\   \mbox{\, }g_{E0} \frac{\partial E_{K} }{\partial t}+J_{EK} \equiv  0,\mbox{\, } \\   \end{array}} \right.\mbox{\, \, } \\   I\ne L\ne K, \\   \end{array} \]

(3):

{Решения первого и второго уравнений Максвелла существуют, но не совместимы между собой}

(4):

      \[ \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{L} }\equiv \mbox{0,\, \, \, \, }I\ne \,  L\mbox{\, \, } \]

Где: xL, xI, t – L—я и I—я пространственные  и временная перемееные, EI, EK, EL – составляющие вектора электрического поля по соответствующим координатам, JEK — составляющая пространственной плотности электрического тока по K-ой координате.

Предложим системы уравнений для описания таких полей. Такие системы уравнений должны удовлетворять следующим условиям. Они должны быть:

  1. Линейными, для выполнения закона сохранения энергии.
  2. Связывать пространственные и временные производные, как и в системе уравнений Максвелла.
  3. Перестановка полей между собой внутри системы уравнений должна образовывать либо четную, либо,
  4. нечетную перестановку, как в системе уравнений Максвелла.
  5. Система уравнений должна сохраняться при пространственных поворотах.

Условие (4) описывает продольные индукции, которые рассмотрим ниже.

Рассмотрим условия (2) и (3) для поперечных индукций.

Системы уравнений поперечных полей. Если условие (2) выполняется, то тогда для описания такого электрического поля в систему уравнений может входить следующая ненулевая комбинация производных – операторы (5):

(5):

      \[ \begin{array}{l}  \left\{ {\begin{array}{l}  \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{L} }+\frac{\partial E_{L} }{\partial  x_{I} },\mbox{\, \, \, } \\   \mbox{\, }g_{E0} \frac{\partial E_{K} }{\partial t}-J_{EK} ,\mbox{\, } \\   \end{array}} \right.\mbox{\, \, \, } \\   I\ne L\ne K, \\   \end{array} \]

Выпишем операторы Максвелла:

(6):

      \[ \begin{array}{l}  \left\{ {\begin{array}{l}  \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{L} }-\frac{\partial E_{L} }{\partial  x_{I} },\mbox{\, \, \, } \\   \mbox{\, }g_{E0} \frac{\partial E_{K} }{\partial t}+J_{EK} ,\mbox{\, } \\   \end{array}} \right.\mbox{\, \, } \\   I\ne L\ne K, \\   \end{array} \]

Видно, что если электрическое поле E при не равных нулю производных образует тождественно нулевую комбинацию (2) с операторами (6), то операторы (5) не будут тождественно нулевыми, и наоборот.

Напряженности полей и токи в (2) — (4) считаются независимыми переменными, а необходимую взаимосвязь между ними определим из решения соответствующей системы уравнений как  необходимое свойство среды или технического устройства.

Применение перестановки  к оператору (5) или (6) приводит к замене в операторе всех букв E на другие буквы, например, X или X‘.

Применение четной 3. или нечетной  перестановки 4. к оператору нового поля X или X‘ приведет к дополнительному введению знака плюс или минус перед вторым оператором с производной по времени в (5):

      \[ \pm \left[ {g_{X0} \frac{\partial X_{K} }{\partial t}-J_{XK} } \right] \]

и (6):

      \[ \pm \left[ {g_{{X}'0} \frac{\partial {X}'_{K} }{\partial t}+J_{{X}'K} }  \right] \]

Эти варианты реализуют условие (3) совместимости и несовместимости решений первого и второго уравнений системы уравнений Максвелла. Возможные комбинации операторов (5) и (6) с четной и нечетной перестановками полей (условия 2., 3. и 4.) внутри системы уравнений дают следующие четыре варианта  систем уравнений (8) – (11). В этих системах уравнений [3] A, D, C – напряженности введенных, неэлектромагнитных, полей, JA, JН, JC,, JD – пространственные плотности токов соответствующих полей, gA0, gН0, gC0, gD0 – константы проницаемости среды для соответствующих полей, ρA,  ρН,  ρC,  ρD – пространственные плотности зарядов соответствующих полей, оператор dis – сумма соответствующих несимметричных пространственных производных, которые входят как разность в оператор rot:

(7):

      \[ (dis\overline E )_{K} =\frac{\partial E_{I} }{\partial x_{L}  }+\frac{\partial E_{L} }{\partial x_{I} }. \]

(8):

      \[ \left\{ {\begin{array}{l}  rot\overline E +\overline {J_{A} } +g_{A0} \frac{\partial \overline A  }{\partial t}=0, \\   rot\overline A +\overline {J_{E} } +g_{E0} \frac{\partial \overline E  }{\partial t}=0, \\   div\overline A -\frac{1}{g_{A0} }\rho_{A} =0, \\   div\overline E -\frac{1}{g_{E0} }\rho_{E} =0. \\   \end{array}} \right. \]

(9):

      \[ \left\{ {\begin{array}{l}  dis\overline E -\overline {J_{D} } +g_{D0} \frac{\partial \overline D  }{\partial t}=0, \\   dis\overline D +\overline {J_{E} } -g_{E0} \frac{\partial \overline E  }{\partial t}=0, \\   div\overline D -\frac{1}{g_{D0} }\rho_{D} =0, \\   div\overline E -\frac{1}{g_{E0} }\rho_{E} =0. \\   \end{array}} \right. \]

 

(10):

      \[ \left\{ {\begin{array}{l}  dis\overline E -\overline {J_{C} } +g_{C0} \frac{\partial \overline C  }{\partial t}=0, \\   dis\overline C -\overline {J_{E} } +g_{E0} \frac{\partial \overline E  }{\partial t}=0, \\   div\overline E -\frac{1}{g_{E0} }\rho_{E} =0, \\   div\overline C -\frac{1}{g_{C0} }\rho_{C} =0. \\   \end{array}} \right. \]

(11):

      \[ \left\{ {\begin{array}{l}  rot\overline E +\overline {J_{H} } +g_{H0} \frac{\partial \overline H  }{\partial t}=0, \\   rot\overline H -\overline {J_{E} } -g_{E0} \frac{\partial \overline E  }{\partial t}=0, \\   div\overline H -\frac{1}{g_{H0} }\rho_{H} =0, \\   div\overline E -\frac{1}{g_{E0} }\rho_{E} =0. \\   \end{array}} \right. \]

Система уравнений (11), как нетрудно проверить, является системой уравнений Максвелла, записанной с фиктивными пространственными  плотностями магнитных токов и зарядов.

Замечание. В (2) объединены два условия выхода из электромагнитной индукции в связи с предположением, что выход из электромагнитного взаимодействия электрического поля  при выполнении условий для пространственных производных должен влечь за собой и изменение операторов с временными производными. Иначе, изменение пространственной структуры должно влечь за собой и изменение временной структуры. Это предположение пока не нашло другого логического, теоретического или экспериментального  обоснования. В случае отказа от этого предположения, условия, объединенные вместе в (2), должны рассматриваться  как независимые. Тогда для выхода из области решений системы уравнений Максвелла   вместо двух независимых условий (2) и (3) необходимо рассматривать три при разделении условия (2) на два независимых – пространственное

      \[ \left\{ {\frac{\partial E_{I} }{\partial x_{L} }-\frac{\partial E_{L}  }{\partial x_{I} }\equiv 0} \right\} \]

и временное

      \[ \left\{ {\left. {\mbox{\, }g_{E0} \frac{\partial E_{K} }{\partial t}+J_{EK}  \equiv 0} \right\} \mbox{\, }} \right.\mbox{\, } \]

Это повлечет за собой удвоение общего числа поперечных систем уравнений.

 

Системы уравнений продольных полей. Следующая возможность выхода из электромагнитной индукции (“выключения”) — поперечнооднородное электрическое (магнитное) поле, у которого смешанные пространственные производные, входящие в состав оператора rot (6) и dis (5), (7), равны нулю тождественно (4).

Такое поле описывается только симметричными пространственными производными, пространственными плотностями токов и производными по времени

      \[ \mbox{\, }\frac{\partial E_{I} }{\partial x_{I} }\mbox{,\, \, }\overline  {J_{EI} } \mbox{\, \, и\, \, }g_{E0} \frac{\partial E_{I} }{\partial t}. \]

Линейные комбинации с учетом токов проводимостей, четных и нечетных перестановок соответствующих полей позволяют образовать следующие системы уравнений [4]:

(12):

      \[ \left\{ {\begin{array}{l}  g_{E0} \frac{\partial E_{I} }{\partial t}+J_{EI} =\frac{\partial Q_{I}  }{\partial x_{I} }, \\   \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{I} }=g_{Q0} \frac{\partial Q_{I}  }{\partial t}+J_{QI} , \\   \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{J} }\equiv 0, \\   \frac{\partial Q_{I} }{\partial x_{J} }\equiv 0. \\   \end{array}} \right.\mbox{\, \, \, } \]

(13):

      \[ \left\{ {\begin{array}{l}  g_{E0} \frac{\partial E_{I} }{\partial t}-J_{EI} =\frac{\partial S_{I}  }{\partial x_{I} }, \\   \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{I} }=g_{S0} \frac{\partial S_{I}  }{\partial t}-J_{SI} , \\   \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{J} }\equiv 0, \\   \frac{\partial S_{I} }{\partial x_{J} }\equiv 0. \\   \end{array}} \right.\mbox{\, } \]

(14):

      \[ \left\{ {\begin{array}{l}  g_{E0} \frac{\partial E_{I} }{\partial t}+J_{EI} =\frac{\partial R_{I}  }{\partial x_{I} }, \\   \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{I} }=-g_{R0} \frac{\partial R_{I}  }{\partial t}-J_{RI} , \\   \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{J} }\equiv 0, \\   \frac{\partial R_{I} }{\partial x_{J} }\equiv 0. \\   \end{array}} \right.\mbox{\, } \]

(15):

      \[ \left\{ {\begin{array}{l}  g_{E0} \frac{\partial E_{I} }{\partial t}-J_{EI} =\frac{\partial T_{I}  }{\partial x_{I} }, \\   \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{I} }=-g_{T0} \frac{\partial T_{I}  }{\partial t}+J_{TI} , \\   \frac{\partial E_{I} }{\partial x_{J} }\equiv 0, \\   \frac{\partial T_{I} }{\partial x_{J} }\equiv 0. \\   \end{array}} \right. \]

Здесь: Q, R, S и T – напряженности неэлектромагнитных полей по I— ой координате, JI – пространственные плотности токов соответствующих полей по I— ой координате,  g0 – проницаемость среды для соответствующих полей.

Системы уравнений (8) – (11), (12) – (15)  образуют метасистему. Ее особенность – состоит из двух подсистем – поперечной (8) – (11) и продольной (12) – (15). Поперечные системы уравнений описывают индукции, в которых участвуют вектора полей, перпендикулярные между собой. Системы уравнений (12) – (15) описывают продольные индукции [4]. Данная метасистема (8) – (15) записана относительно электрического поля  Е.  Одно поле Е может участвовать в 8 системах уравнений, соответственно, участвовать в 8 индукциях. Любая непрерывная дифференцируемая  функция электрического поля может быть разложена  на сумму полей, являющихся составляющими решений систем уравнений метасистемы (8) – (11), (12) – (13). Если имеется некоторое произвольное электрическое поле, то его индукционную пару следует определить, подставляя данное электрическое поле последовательно в каждую систему уравнений (8) – (13).