КРАВЧИК Ю.С. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАД ЧИСЛАМИ М pdf   

   Аннотация.  Представлено интегрирование над числами М и аналог преобразования Фурье.

      Summary. Integration above numbers of M and analogue of transformation Fourier is submitted.

 

В настоящее время актуальна проблема получения аналитических решений системы уравнений Максвелла. Такие решения необходимы для расчета и анализа электромагнитных резонаторов, направляющих систем и пространственных полей в радиотехнике и телекоммуникации.

Для получения решений системы уравнений Максвелла наибольшее распространение получили символический метод [1] и его обобщения – обобщенный символический метод [2] и многомерный символический метод [3], а так же теория дифференциальных уравнений [4]. Их использование ограничено определенным классом функций, в котором находится решение, либо математическими трудностями, связанными с необходимостью разделения переменных.  Во многих практически важных случаях такие методы не дают аналитического решения.  Теория функций комплексной переменной [5] адекватно описывает плоские стационарные электрические и магнитные поля.   Возможность использования одного из вариантов расширения комплексных чисел – чисел М в электродинамике Максвелла показана  в [6]. В [6] описаны числа М, их арифметика – сложение, вычитание, умножение и деление, а так же дифференцирование функций над числами М. Однако не была рассмотрена обратная операция — интегрирование. Поэтому целью данной работы является показать возможность  введения интегрирования для функций над числами М. В дальнейшем будут использованы обозначения и  понятия, введенные в [6].

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

     Интегрирование для функций над числами М по некоторой кривой γ определим следующим образом.

Определим кривую на листе малой переменной следующим образом. Пусть на отрезке действительной оси

    \[ \delta \le r\le \chi  \]

задана функция λ=λ(r), принимающая значения на листе малой переменной

    \[ \lambda =i\cdot x(r)+j\cdot y(r)+k\cdot z(r)+I\cdot t(r). \]

Здесь x(r), y(r), z(r) и t(r) –действительные непрерывные дифференцируемые функции. Аналогично определим кривую как однопараметрическую функцию со значениями на листе большой переменной

    \[ \Lambda =Ii\cdot X(r)+Ij\cdot Y(r)+Ik\cdot Z(r)+T(r). \]

Введем интегрирование над листом малой переменной λ функции F аналогично введению интегрирования в теории функций комплексного переменного (см., например, [4]). Разобьем кривую γ    на частичные  дуги γn  конечным числом  n  точками λn, взятыми в порядке следования по кривой γ. Обозначим  через ln  длину дуги [1], оканчивающейся точкой  ln, и пусть  l=max ln – максимальная  длина элементарной дуги из разбиения.  Тогда определим интеграл от функции F(λ) по кривой γ  как следующий предел при стремлении максимальной длинны элементарной дуги l к нулю:

(1):

    \[ \int\limits_\gamma F(\lambda )d\lambda =\lim\limits_{l\to 0}  \sum\limits_n F(\lambda_{n} )(\lambda_{n} -\lambda_{n-1} ), \]

где γ — контур интегрирования и λ∈γ. Функция F(λ), в соответствии с [6], представляется в виде суммы действительных и мнимых составляющих. Соответственно, λ принадлежит листу малых переменных и представляется в виде суммы мнимых составляющих:  λ=I×t+i×x+j×y+k×z. Тогда

 

(2):

    \[ \begin{array}{l}  \lambda_{n} -\lambda_{n-1} =I\cdot (t_{n} -t_{n-1} )+i\cdot (x_{n}  -x_{n-1} )+ \\   +j\cdot (y_{n} -y_{n-1} )+k\cdot (z_{n} -z_{n-1} ) \\   \end{array} \]

при l->0  соответствующие разности перейдут в действительные дифференциалы. Окончательно получаем:

(3):

    \[ \begin{array}{l}  \int\limits_\gamma {F(\lambda )d\lambda =\int\limits_\gamma  {\begin{array}{l}  (\alpha +i\cdot C_{X} +j\cdot C_{Y} +k\cdot C_{Z} + \\   +I\cdot \beta +Ii\cdot G_{X} +Ij\cdot G_{Y} +Ik\cdot G_{Z} )\times \\   \end{array}} } \\   \times (I\cdot \partial t+i\cdot \partial x+j\cdot \partial y+k\cdot  \partial z), \\   \end{array} \]

Раскрывая скобки и выполняя умножение в соответствии с таблицей 1 умножения [6] получим представление интеграла (1) в виде суммы интегралов от действительных переменных:

(4):

    \[ \begin{array}{l}  \int\limits_\gamma {F(\lambda )d\lambda =\int\limits_\gamma {-C_{X}  \partial x-C_{Y} \partial y-C_{Z} \partial z-\beta \partial t+} } i\times \\   \times \int\limits_\gamma {\alpha \partial x+C_{Y} \partial z-C_{Z}  \partial y-G_{X} \partial t+} \\   +j\cdot \int\limits_\gamma {\alpha \partial y-C_{X} \partial z+C_{Z}  \partial x-G_{Y} \partial t} + \\   +k\cdot \int\limits_\gamma {\alpha \partial z+C_{X} \partial y-C_{Y}  \partial x-G_{Z} \partial t} + \\   +I\cdot \int\limits_\gamma {\alpha \partial t-G_{X} \partial x-G_{Y}  \partial y-G_{Z} \partial z+} \\   +Ii\cdot \int\limits_\gamma C_{X} \partial t+\beta \partial x+G_{Y}  \partial z-G_{Z} \partial y+ \\   +Ij\cdot \int\limits_\gamma {C_{Y} \partial t+\beta \partial y-G_{X}  \partial z+G_{Z} \partial x+} \\   +Ik\cdot \int\limits_\gamma C_{Z} \partial t+\beta \partial z+G_{X}  \partial y-G_{Y} \partial x. \\   \end{array} \]

Следовательно, интегрирование над числами М по кривой γ сводится, как и в комплексном случае,  к сумме действительных интегралов.

Аналогично представим интеграл над листом большой переменной Λ по кривой Г:

(5):

    \[ \begin{array}{l}  \int\limits_\Gamma {F(\Lambda )d\Lambda =\int\limits_\Gamma  {\begin{array}{l}  (\alpha +i\cdot C_{X} +j\cdot C_{Y} +k\cdot C_{Z} + \\   +Ii\cdot G_{X} +Ij\cdot G_{Y} +Ik\cdot G_{Z} ) \\   \end{array}} } \times \\   \times (\partial T+Ii\cdot \partial X+Ij\cdot \partial Y+Ik\cdot \partial  Z) \\   \end{array} \]

Раскрывая скобки и выполняя умножение в соответствии с таблицей 1 умножения чисел М [6], интеграл (5) сведем к сумме действительных интегралов:

(6):

    \[ \begin{array}{l}  \int\limits_\Gamma {F(\Lambda )d\Lambda =\int\limits_\Gamma {\alpha  \partial T+G_{X} \partial X+G_{Y} \partial Y+G_{Z} \partial Z+} } \\   +i\cdot \int\limits_\Gamma {C_{X} \partial T-\beta \partial X-G_{Y}  \partial Z+G_{Z} \partial Y+} \\   +j\cdot \int\limits_\gamma {C_{Y} \partial T-G_{Z} \partial X-\beta  \partial Y+G_{X} \partial Z} + \\   +k\cdot \int\limits_\Gamma {C_{Z} \partial T-\beta \partial Z-G_{X}  \partial Y+G_{Y} \partial X} + \\   +I\cdot \int\limits_\Gamma \beta \partial T-C_{X} \partial X-C_{Y} \partial  Y-C_{Z} \partial Z+ \\   +Ii\cdot \int\limits_\Gamma G_{X} \partial X+\alpha \partial X+C_{Y}  \partial Z-C_{Z} \partial Y+ \\   +Ij\cdot \int\limits_\Gamma G_{Y} \partial T+\alpha \partial Y-C_{X}  \partial Z-C_{Z} \partial X+ \\   Ik\cdot \int\limits_\Gamma G_{Z} \partial T+\alpha \partial Z+C_{X}  \partial Y-C_{Y} \partial X. \\   \end{array} \]

Основные свойства интегралов (3) и (5) следующие:

Линейность:

(7):

    \[ \int\limits_\gamma {(F_{1} m_{1} +F_{2} m_{2} )} d\lambda =m_{1}  \int\limits_\gamma {F_{1} } d\lambda +m_{2} \int\limits_\gamma {F_{2}  d\lambda } {\begin{array}{*{20}c}  , \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, }(7)} \hfill \\ \end{array} } \]

где m1, m2числа с листа малой переменной, m1, m2⊆λ.

(8):

    \[ \int\limits_\gamma {Fd\lambda } =-\int\limits_{-\gamma } {Fd\lambda }  .\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(8)} \hfill \\ \end{array} } \]

(9):

    \[ \int\limits_{\gamma_{1} } {Fd\lambda } +\int\limits_{\gamma_{2} }  {Fd\lambda =\int\limits_{\gamma_{1} +\gamma_{2} } {Fd\lambda } }  .{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, }(9)} \hfill \\ \end{array} } \]

Свойства 1-3 – вытекают из свойств сумм действительных интегралов (4) и  (6) и устанавливаются непосредственной проверкой.

Аналогичным путем введем m-кратные интегралы (см., например. [7]). Определим m-кратный интеграл на m листах малых переменных λm как предел следующей суммы:

(10):

    \[ \begin{array}{l}  \mathop{\int\!\!\!\int\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt {\gamma^{1}\gamma  ^{2}\gamma^{3}}} {...} \int\limits_{\gamma^{m}} {F(\lambda^{1},\lambda  ^{2},\lambda^{3},} ...,\lambda^{m})d\lambda^{1}d\lambda^{2}d\lambda  ^{3}d...\lambda^{m}= \\   =\int\limits_{\gamma^{[m]}} {F(\lambda^{[m]})d\lambda^{[m]}} = \\   =\mathop {\lim \left[ \right.}\limits_{{\begin{array}{l}  l^{1}\to 0 \\   l^{2}\to 0 \\   l^{3}\to 0 \\   ........ \\   l^{m}\to 0 \\   \end{array}}} \sum\limits_{n^{1},n^{2},n^{3}...n^{m}} {F(\lambda^{[m]})}  (\lambda_{n_{1} }^{1} -\lambda_{n_{1} +1}^{1} )\times \\   \times (\lambda_{n_{2} }^{2} -\lambda_{n_{2} +1}^{2} )(\lambda_{n_{3}  }^{3} -\lambda_{n_{3+1} }^{3} )...(\lambda_{n_{m} }^{m} -\lambda_{n_{m}  +1}^{m} )\left. \right], \\   \end{array} \]

где lk – максимальная длинна элементарной  дуги k -ой переменной при разбиении на отрезки точками nk. F(λ123, …,λm) – функция m переменных. γ[m]m— кривых на m листах малой переменной, заданных как параметрические функции от действительных параметров rn со значением на n – ом листе переменной λn. Подставляя в (10) составляющие функции F и дифференциалов

(11):

    \[ d\lambda^{k}=i\cdot \partial x^{k}(r)+j\cdot \partial y^{k}(r)+k\cdot  \partial z^{k}(r)+I\cdot \partial t^{k}(r) \]

в виде действительных и мнимых составляющих, с учетом таблицы умножения чисел М, этот интеграл сводим к вычислению действительных интегралов. Их свойства будут соответствовать свойствам (7)-(9) и свойствам действительных m-мерных интегралов.

Аналогично определим кратный интеграл на листах большой переменной Λ[m].        Для выражения (10) примем следующую сокращенную запись кратного интеграла на листе  большой переменной:

(12):

    \[ \int\limits_{\Gamma^{[m]}} F(\Lambda^{[m]})d\Lambda^{1}d\Lambda  ^{2}d\Lambda^{3}...d\Lambda^{m}=\int\limits_{\Gamma^{[m]}} F(\Lambda  ^{[m]})d\Lambda^{[m]}. \]

Здесь: Γ[m] m листов большой переменной Λn.

Введенные операции интегрирования будут использованы при разложениях в ряды и интегральных преобразованиях.