1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАД ЧИСЛАМИ М
КРАВЧИК Ю.С. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАД ЧИСЛАМИ М pdf
Аннотация. Представлено интегрирование над числами М и аналог преобразования Фурье.
Summary. Integration above numbers of M and analogue of transformation Fourier is submitted.
В настоящее время актуальна проблема получения аналитических решений системы уравнений Максвелла. Такие решения необходимы для расчета и анализа электромагнитных резонаторов, направляющих систем и пространственных полей в радиотехнике и телекоммуникации.
Для получения решений системы уравнений Максвелла наибольшее распространение получили символический метод [1] и его обобщения – обобщенный символический метод [2] и многомерный символический метод [3], а так же теория дифференциальных уравнений [4]. Их использование ограничено определенным классом функций, в котором находится решение, либо математическими трудностями, связанными с необходимостью разделения переменных. Во многих практически важных случаях такие методы не дают аналитического решения. Теория функций комплексной переменной [5] адекватно описывает плоские стационарные электрические и магнитные поля. Возможность использования одного из вариантов расширения комплексных чисел – чисел М в электродинамике Максвелла показана в [6]. В [6] описаны числа М, их арифметика – сложение, вычитание, умножение и деление, а так же дифференцирование функций над числами М. Однако не была рассмотрена обратная операция — интегрирование. Поэтому целью данной работы является показать возможность введения интегрирования для функций над числами М. В дальнейшем будут использованы обозначения и понятия, введенные в [6].
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Интегрирование для функций над числами М по некоторой кривой γ определим следующим образом.
Определим кривую на листе малой переменной следующим образом. Пусть на отрезке действительной оси
задана функция λ=λ(r), принимающая значения на листе малой переменной
Здесь x(r), y(r), z(r) и t(r) –действительные непрерывные дифференцируемые функции. Аналогично определим кривую как однопараметрическую функцию со значениями на листе большой переменной
Введем интегрирование над листом малой переменной λ функции F аналогично введению интегрирования в теории функций комплексного переменного (см., например, [4]). Разобьем кривую γ на частичные дуги γn конечным числом n точками λn, взятыми в порядке следования по кривой γ. Обозначим через ln длину дуги [1], оканчивающейся точкой ln, и пусть l=max ln – максимальная длина элементарной дуги из разбиения. Тогда определим интеграл от функции F(λ) по кривой γ как следующий предел при стремлении максимальной длинны элементарной дуги l к нулю:
(1):
где γ — контур интегрирования и λ∈γ. Функция F(λ), в соответствии с [6], представляется в виде суммы действительных и мнимых составляющих. Соответственно, λ принадлежит листу малых переменных и представляется в виде суммы мнимых составляющих: λ=I×t+i×x+j×y+k×z. Тогда
(2):
при l->0 соответствующие разности перейдут в действительные дифференциалы. Окончательно получаем:
(3):
Раскрывая скобки и выполняя умножение в соответствии с таблицей 1 умножения [6] получим представление интеграла (1) в виде суммы интегралов от действительных переменных:
(4):
Следовательно, интегрирование над числами М по кривой γ сводится, как и в комплексном случае, к сумме действительных интегралов.
Аналогично представим интеграл над листом большой переменной Λ по кривой Г:
(5):
Раскрывая скобки и выполняя умножение в соответствии с таблицей 1 умножения чисел М [6], интеграл (5) сведем к сумме действительных интегралов:
(6):
Основные свойства интегралов (3) и (5) следующие:
Линейность:
(7):
где m1, m2 – числа с листа малой переменной, m1, m2⊆λ.
(8):
(9):
Свойства 1-3 – вытекают из свойств сумм действительных интегралов (4) и (6) и устанавливаются непосредственной проверкой.
Аналогичным путем введем m-кратные интегралы (см., например. [7]). Определим m-кратный интеграл на m листах малых переменных λm как предел следующей суммы:
(10):
где lk – максимальная длинна элементарной дуги k -ой переменной при разбиении на отрезки точками nk. F(λ1,λ2,λ3, …,λm) – функция m переменных. γ[m] – m— кривых на m листах малой переменной, заданных как параметрические функции от действительных параметров rn со значением на n – ом листе переменной λn. Подставляя в (10) составляющие функции F и дифференциалов
(11):
в виде действительных и мнимых составляющих, с учетом таблицы умножения чисел М, этот интеграл сводим к вычислению действительных интегралов. Их свойства будут соответствовать свойствам (7)-(9) и свойствам действительных m-мерных интегралов.
Аналогично определим кратный интеграл на листах большой переменной Λ[m]. Для выражения (10) примем следующую сокращенную запись кратного интеграла на листе большой переменной:
(12):
Здесь: Γ[m]— m листов большой переменной Λn.
Введенные операции интегрирования будут использованы при разложениях в ряды и интегральных преобразованиях.