В качестве примера использования интегрирования рассмотрим определение коэффициентов разложения периодических функций над числами М в ряд. Так же рассмотрим аналог преобразования Фурье для непериодических функций над числами М.

Предварительно переопределим функцию F(λ) с листа малой переменной  λ на 4 листах малой переменной  λ=λ1234 при следующих условиях:

(13),(14):

    \[ \begin{array}{l}  F(\lambda )=F(\lambda^{[4]})=F(\lambda^{1}+\lambda^{2}+\lambda  ^{3}+\lambda^{4}),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, }(13)} \hfill \\ \end{array} } \\   \lambda^{1}=i\cdot x,\mbox{\, \, }\lambda^{2}=j\cdot y,\mbox{\, \,  }\lambda^{3}=k\cdot z,\mbox{\, \, }\lambda^{4}=I\cdot  t.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, }(14)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

Пусть имеется система функций

    \[ \{F_{n^{[4]}} \} \]

n[4]=(nx,ny,nz,nt), где nv(v=x,y,z,t) – действительные функции. Ортогональность функций ряда определим следующим образом.

Fn  и Fm ортогональны при n¹m, если существует некоторая 4-область γ[4] на листах малой переменной, что выполняется равенство

(15):

    \[ F_{n} \bullet F_{m} =\int\limits_{\gamma^{[4]}}^{\mbox{\, }}  {\mathunderscore F_{n} (\lambda^{[4]})\cdot F_{m} (-\lambda^{[4]})d\lambda  ^{[4]}} =0.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill \\ \end{array} } \]

Примером ортогонального ряда является ряд из показательных функций над листом малой  переменной. Для листа малой переменной показательная функция имеет вид [6]:

(16):

    \[ F_{\omega } (\lambda )=\exp (i\cdot \omega_{X} x+j\cdot \omega_{Y}  y+k\cdot \omega_{Z} z+I\cdot \omega_{T} t),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, }(16)} \hfill \\ \end{array} } \]

где функция  4-периодична [8] с периодами   по каждой независимой переменной x, y, z, и t.

Действительно, для функции ) следующие преобразования применимы:

(17):

    \[ \begin{array}{l}  F_{\omega 1} (\lambda )\bullet F_{\omega 2} (\lambda )=\int\limits_{\gamma  ^{[4]}} \exp (i\omega_{X1} +j\omega_{Y1} y+k\omega_{Z1} z+I\cdot \omega  _{T1} t)\times \\   \times \exp (-i\omega_{X2} x-j\omega_{Y2} y-k\omega_{Z2} z-I\omega_{T2}  t)d\lambda^{[4]}= \\   =\int\limits_{\gamma^{[4]}} \exp (i(\omega_{X1} -\omega_{X2} )x+j(\omega  _{Y1} -\omega_{Y2} )y+ \\   +k(\omega_{Z1} -\omega_{Z2} )z+I(\omega_{T1} -\omega_{T2} )t)d\lambda  ^{[4]}= \\   =\left\{ {\begin{array}{l}  0,\mbox{\, \, при\, \, }\omega_{X1} \ne \omega_{X2} ,\omega_{Y1} \ne  \omega_{Y2} ,\omega_{Z1} \ne \omega_{Z2} ,\omega_{T1} \ne \omega_{T2} ,  \\   i\cdot j\cdot k\cdot I\cdot (2\pi )^{4}= \\   =-I\cdot (2\pi )^{4}\mbox{\, \, при\, }\omega_{\mbox{X1}} =\omega  _{\mbox{X2}} =\omega_{Y1} =\omega_{\mbox{Y2}} = \\   =\omega_{\mbox{Z1}} =\omega_{\mbox{Z2}} =\omega_{\mbox{T1}} =\omega  _{\mbox{T2}} =\mbox{0,\, } \\   \end{array}} \right. \\   \end{array} \]

при выборе γ[4], равном участку 4-периодичности. При этом показательная подынтегральная функция представляется в виде произведения показательных функций от независимых переменных. Тогда интегрировать можно по каждой переменной независимо от других при учете только порядка интегрирования. Например, для переменной I×t на интервале от 0 до I×  имеем:

(18):

    \[ \int\limits_0^{I\cdot 2\pi } {\exp (I\cdot (\omega_{T1} -\omega_{T2}  )t)d(I\cdot t)} =\left\{ {{\begin{array}{*{20}c}  {0,\omega_{T1} \ne \omega_{T2} ,} \hfill \\  {I\cdot 2\pi ,\omega_{T1} =\omega_{T2} .} \hfill \\ \end{array} }} \right.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(18)} \hfill \\ \end{array} } \]

Рассмотрим следующую задачу о возможности  разложения функции F(λ[4]) в ряд из показательных функций над листом малой переменной:

(19):

    \[ F(\lambda^{[4]})=\sum\limits_\omega {A_{\omega } \exp (i\cdot \omega_{X}  x+j\cdot \omega_{Y} y+k\cdot \omega_{Z} z+I\cdot \omega_{T}  t),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(19)} \hfill \\ \end{array} }}  \]

где в (19) суммирование производится по всевозможным  сочетаниям ωxY,Z,ωt), определяющим экспоненциальные решения системы уравнений Максвелла для прямоугольного резонатора и являющиеся суммой электрических и магнитных функций [6].

Для определения соответствующих коэффициентов  Аω  умножим  уравнение (19) на соответствующие ортогональные функции справа и проинтегрируем на соответствующих интервалах. Тогда с учетом свойства ортогональности (17) ряда (19) получаем:

(20):

    \[ \frac{1}{I\cdot (2\pi )^{4}}\int\limits_{\gamma^{[4]}} F\exp (-i\omega_{X}  x-j\omega_{Y} y-k\omega_{Z} z-I\cdot \omega_{T} t)d\lambda  ^{[4]}=A_{\omega } , \]

для ряда над листами малой переменной. Теперь определенное таким образом значение для коэффициента  Аω  подставим в ряд (19):

(21):

    \[ \begin{array}{l}  F(\lambda^{[4]})=\sum\limits_\omega {(\frac{1}{I\cdot (2\pi )^{4}}}  \int\limits_{\gamma^{[4]}} F\exp (-i\omega_{x} x-j\omega_{y} y-k\omega  _{z} z-I\cdot \omega_{t} t)d\lambda^{[4]}\times \\   \mbox{\, \, }\times \exp (i\cdot \omega_{x} x+j\cdot \omega_{y} y+k\cdot  \omega_{z} z+I\cdot \omega_{t} t)){\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

На основе выражения (21) может быть определен аналог  прямого и обратного преобразования Фурье по следующим выражениям:

(22):

    \[ \begin{array}{l}  \Psi (\omega )=\frac{1}{I\cdot (2\pi )^{4}}\int\limits_{\gamma^{[4]}}  F(\lambda^{[4]})\exp (-i\cdot \omega_{x} x-j\cdot \omega_{y} y- \\   -k\cdot \omega_{z} z-I\cdot \omega_{t} t)d\lambda^{[4]}, \\   \end{array} \]

(23):

    \[ F(\lambda )=\sum\limits_\omega {\Psi (\omega )\exp (i\cdot \omega_{x}  x+j\cdot \omega_{y} y+k\cdot \omega \cdot_{z} z+I\cdot \omega_{t} t).}  {\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }(23)}  \hfill \\ \end{array} } \]

В (23) ω(ωxY,Z,ωt).,

Для получения интегрального обратного преобразования Фурье проведем преобразования, аналогичные описанным в [9]. Для этого перепишем уравнение (22) для периодов l произвольной длинны:

(24):

    \[ \begin{array}{l}  l_{x} l_{y} l_{z} l_{t} \Psi (k)=\frac{1}{I\cdot (2\pi  )^{4}}\int\limits_{l^{[4]}} F(\lambda^{[4]})\exp (-i\cdot \frac{2\pi k_{x}  }{l_{x} }- \\   -j\cdot \frac{2\pi k_{y} }{l_{y} }-k\cdot \frac{2\pi k_{z} }{l_{z} }-I\cdot  \frac{2\pi k_{t} }{l_{t} })d\lambda^{[4]}{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(24)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

Тогда ряд (23) перепишется в виде:

(25):

    \[ F(\lambda )=\sum\limits_k {\begin{array}{l}  l_{x} l_{y} l_{z} l_{t} \Psi (k)\exp (i\cdot 2\pi \nu_{x} x+j\cdot 2\pi  \nu_{y} y+ \\   +k\cdot 2\pi \nu_{z} z+I\cdot 2\pi \nu_{t} t)\Delta \nu  ^{[4]}{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(25)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array}}  \]

где:

    \[ \nu =\frac{k}{l},\mbox{\, \, \, }\Delta \nu  =\frac{k+1}{l}-\frac{k}{l}=\frac{1}{l}. \]

От суммы (25) при l→∝ получим интеграл:

(26):

    \[ \begin{array}{l}  F(\lambda )\sim \int\limits_{V^{[4]}} \Psi (v)\exp (i\cdot 2\pi v_{x}  x+j\cdot 2\pi v_{y} y+ \\   +k\cdot 2\pi v_{z} z+I\cdot 2\pi v_{t} t)dv^{[4]}. \\   \end{array} \]

В (24) и в (25) экспоненты разлагаются на множители по каждой переменной и преобразования можно проводить независимо от других переменных, составляющих λ.

Рассмотрим Фурье – образ частной производной на листе малой переменной (22):

(27):

    \[ \begin{array}{l}  {F}'_{X} \sim \frac{1}{I\cdot (2\pi )^{4}}\int\limits_{\gamma^{[4]}}  {F}'_{X} (\lambda^{[4]})\exp (-i\cdot \omega_{X} x- \\   -j\cdot \omega_{Y} y-k\cdot \omega_{Z} z-I\cdot \omega_{T} t)dxd\lambda  ^{[3]} \\   \end{array} \]

Интегрируя по частям, получаем:    

(28):

    \[ \begin{array}{l}  {F}'_{X} \sim \frac{1}{I\cdot (2\pi )^{4}}\int\limits_{\gamma^{[3]}}^  F(\lambda^{[4]})\exp (-i\cdot \omega_{x} x-j\cdot \omega_{y} y- \\   -k\cdot \omega_{z} z-I\cdot \omega_{t} t)d\lambda^{[3]}\left|  {_{x(r=\delta^{1})}^{x(r=\chi^{1})} } \right.-\frac{Ii\cdot \omega_{X}  }{(2\pi )^{4}}\Psi (\omega ). \\   \end{array} \]

В (28) первый член разности есть разность значений левого выражения на границах области γ по x и выражает граничные условия для частной производной в самом общем виде.

Свойство (28) дает возможность использования аналога преобразования Фурье для получения решений дифференциальных уравнений в частных производных.

Рассмотрим другое представление ряда (19), которое можно использовать для более общего класса функций. В (19) члены ряда определяются действительными коэффициентами ω= ω(ωxY,Z,ωtпри независимых переменных с листов малой переменной λ[4].  Рассмотрим следующий ряд:

(29):

    \[ \begin{array}{l}  F=\sum\limits_u A_{u} \exp (u\lambda )= \\   =\sum\limits_u A_{u} \exp ((i\cdot u_{x} +j\cdot u_{y} +k\cdot u_{z}  +I\cdot u_{t} )\times \\   \times (i\cdot x+j\cdot y+k\cdot z+I\cdot t)),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, }(29)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

где: u – множитель с листа малой переменной. Физический смысл членов ряда (29) можно определить, если раскрыть скобки показателя экспоненты. Тогда:

(30):

    \[ F=\sum\limits_u A_{u} \exp (u\lambda )=\sum\limits_u A_{u} A^{1}A^{2}A^{3}, \]

где:

(31-33):

    \[ \begin{array}{l}  A^{1}=\exp (-u_{x} x-u_{y} y-u_{z} z-u_{t} t),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, }} \hfill \\ \end{array} } \\   A^{2}=\exp (i\cdot (u_{y} z-u_{z} y)+j\cdot (u_{z} x-u_{x} z)+k\cdot (u_{x}  y-u_{y} x),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, }} \hfill \\ \end{array} } \\   A^{3}=\exp (Ii\cdot (u_{x} t+u_{t} x)+Ij\cdot (u_{y} t+u_{t} y)+Ik\cdot  (u_{z} t+u_{t} z).{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, }} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

Смысл множителя А1 – экспоненциальное изменение в пространстве и времени; А2— соответствует решению для прямоугольного резонатора [6] без временной зависимости с осями периодичности, развернутыми относительно осей x, y, и  z соответственно; А3 соответствует показательной функции на листе большой переменной, бегущей по пространственным осям. Множители (31) и (32) соответствуют экспофункциональным полям, введенным в [10].

Функция (29) является дифференцируемой. Действительно,  для дифференцируемой функции F(λ), являющейся решением системы уравнений Максвелла, справедлива система уравнений

(34):

    \[ \frac{dF(\lambda )}{d\overline \lambda }=0,{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill \\ \end{array} } \]

или:

(35):

    \[ \begin{array}{l}  \frac{dF}{d(-i\cdot x-j\cdot y-k\cdot z+I\cdot t)}= \\   =\frac{d(\exp (u\lambda ))}{d(-i\cdot x-j\cdot y-k\cdot z+I\cdot  t)}=u\frac{\partial }{\partial \overline \lambda }\exp \lambda =u\cdot  0{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

в силу дифференцируемости показательной функции.

Изучение общего решения системы уравнений Максвелла благодаря ее линейности, можно заменить изучением свойств экспоненциальных членов  рядов (19) или (30), что упрощает задачу.

В заключение отметим, что интегрирование функций над числами М может быть использовано при получении и изучении решений системы уравнений Максвелла в рамках предложенного формализма.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Никольский Н.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978. – 543 с.
  2. Иваницкий А.М. Обобщенный символический метод анализа электрических цепей. Учебное пособие. – Одесса: УГАС, 1994. – 27 с.
  3. Иваницкий А.М. Комплексный анализ многомерных цепей/ ОЭИС. – Одесса, 1993 – 15 с. – Рус. —  Деп. В ЦНТИ “Информсвязь” 06.04.93, №1961 – св.
  4. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1982. – 488 с.
  5. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1977. – 504с.
  6. Кравчик Ю.С. Обобщение комплексных чисел и их применение в электродинамике // Праці УНДІРТ. – 2003. — №4(36).
  7. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. – М.: Наука, 1969. – 576 с.
  8. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979. – 318 с.
  9. Ефимов А.В. Математический анализ. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1980. – 279 с.
  10. Иваницкий А.М. Экспофункциональные поля // Наукові праці УДАЗ ім. О.С. Попова. – 2001. — №1. – С. 18-21.