Кравчик Ю.С.

Аннотация Рассмотрены групповые свойства и представление Т – полей составляющими комплексных  функций. Приведены примеры получения собственных функций для поперечно – однородных структур.

Abstract Group properties and performance Т — fields component complex functions surveyed. Examples of deriving of eidenfunctions for transversally — the homogeneous structures are reduced.

В настоящее время в электродинамике существует проблема точного аналитического расчета электромагнитных структур, дающего возможность анализа их свойств с целью улучшения их эксплуатационных и технических характеристик.

Существует несколько методов получения точных решений однородной системы уравнений Максвелла. Среди них – метод разделения переменных [1], использующий преобразование системы координат. Известен метод электростатической аналогии, позволяющий получать решения в виде Т-полей для 2- и более связанных структур с применением теории функций комплексного переменного. Его использование основано на электростатической аналогии и тождественности описывающих их решения уравнений – двумерного уравнения Лапласа [2]. Применение функций комплексного переменного позволяет решить ряд 3- мерных задач [3] переходом к специально выбранным системам координат.

Эти точные методы ограничены в возможностях. Один из путей увеличения числа точных решений – использование групповых преобразований, переводящих одно решение в другое. Это актуально, например, для точного определения электромагнитного поля вблизи идеально проводящих одно-связанных поверхностей,  как в прямых, так и в обратных задачах электродинамики, что позволяет оптимизировать технические параметры электромагнитных систем.  Известны группы системы уравнений Максвелла, например, — непрерывная 17-параметрическая группа [4], группа перехода между листами малой и большой переменной [5]. Но их недостаток – малое число операторов, которые они позволяют использовать. Поэтому цель данной работы – предложить группу 2- мерного преобразования для Т— полей с более богатым множеством допустимых операторов.

ГРУППОВОЕ СВОЙСТВО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ  КОМПЛЕКСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ  НАД Т-ПОЛЯМИ

Знание групповых свойств позволяет определить класс функций, являющихся решением системы уравнений Максвелла. Преобразование одного решения в другое с помощью групповой операции позволяет получать множество других решений. Определим групповую операцию и подмножество решений, на  котором эта операция действует.

Группа преобразований [6] должна удовлетворять следующим условиям.

  • Преобразование должно быть замкнутым, т.е. переводить одно решение в другое.
  • Группа преобразований должна содержать тождественное преобразование.
  • Вместе с преобразованием должно существовать и обратное ему.
  • Композиция преобразований должна переводить одно решение в другое.

Будем рассматривать  преобразования, определяемые составляющими функции комплексного переменного

(1):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  x=\phi ({x}',{y}'), \\   y=\psi ({x}',{y}'), \\   \end{array}} \right. \]

где: x′ и  y′ — новые переменные, φ и  ψ— составляющие комплексной функции, удовлетворяющие условиям Коши – Римана  [7]:

(2):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \frac{\partial \phi }{\partial x}=\frac{\partial \psi }{\partial y}, \\   \frac{\partial \phi }{\partial y}=-\frac{\partial \psi }{\partial x}, \\   \end{array}} \right. \]

Покажем, что описанные преобразования над  подмножеством решений Т — полей системы уравнений Максвелла образуют  группу преобразований. Проверим свойство 1 группового преобразования —  замкнутость преобразования (1).

Пусть составляющие решения Т — поля имеют следующие компоненты электрического и магнитного полей EX, EY, HX  и HY.  Следующие  уравнения системы уравнений Максвелла с этими компонентами имеют следующий вид:

(3):

(4):

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial E_{Y} }{\partial z}=\mu \mu_{0} \frac{\partial H_{X}  }{\partial t}, \\   \frac{\partial E_{X} }{\partial z}=-\mu \mu_{0} \frac{\partial H_{Y}  }{\partial t}. \\   \end{array} \]

Где: EX, EY, HX, HYнапряженности электрического и магнитного полей по соответствующим координатам, μ  и μ0  определяют магнитную проницаемость среды.

Как видно, уравнения (3) и (4) при преобразованиях, удовлетворяющих условиям Коши – Римана (2) не изменятся, т.к. не затрагивают их переменных.

Составляющие следующего уравнения из системы уравнений Максвелла:

(5)

    \[ \frac{\partial E_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial E_{X} }{\partial y}=0 \]

изменятся преобразованием (1) следующим образом:

(6):

    \[ \frac{\partial E_{Y} }{\partial {x}'}=\frac{\partial E_{Y} }{\partial  x}\frac{\partial \phi }{\partial {x}'}+\frac{\partial E_{Y} }{\partial  y}\frac{\partial \psi }{\partial {x}'}, \]

(7):

    \[ -\frac{\partial E_{X} }{\partial {y}'}=-\frac{\partial E_{X} }{\partial  x}\frac{\partial \phi }{\partial {y}'}-\frac{\partial E_{X} }{\partial  y}\frac{\partial \psi }{\partial {y}'}. \]

С учетом условий Коши – Римана (1) уравнение (5) примет вид:

(8):

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial E_{Y} }{\partial {x}'}-\frac{\partial Ex}{\partial {y}'}= \\   =\left( {\frac{\partial E_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial E_{X} }{\partial  y}} \right)\frac{\partial \phi }{\partial {x}'}+ \\   +\left( {\frac{\partial E_{Y} }{\partial y}+\frac{\partial E_{X} }{\partial  x}} \right)\frac{\partial \psi }{\partial {x}'} \\   \end{array} \]

и с учетом уравнения второй пары уравнений Максвелла

(9):

    \[ \frac{\partial E_{X} }{\partial x}+\frac{\partial E_{Y} }{\partial y}=0 \]

сохраняется.

Остальные уравнения, как можно проверить, так же будут выполнены  при преобразованиях (1).  Следовательно,  преобразование  (1) переводит решение системы уравнений Максвелла в решение.

Тождественное преобразование составляет единичное преобразование, и второе условие выполнено.

Преобразования (1), определяющие дифференцируемую функцию комплексного переменного, обратимы  [7] и третье условие выполнено.

Композиция преобразований,

    \[ ({\phi }''({\phi }',{\psi }'),{\psi }''({\phi }',{\psi }')) \]

определяется сложной комплексной функцией, которая так же удовлетворяет условиям Коши – Римана, если компоненты сложной комплексной функции

    \[ ({\phi }',{\psi }')\mbox{\, ,\, }({\phi }',{\psi }') \]

удовлетворяют тем же условиям [7]. Следовательно, четвертое условие так же выполнено.

Следовательно, преобразование (1) образует группу над подмножеством решений Т – полей  системы уравнений Максвелла  из составляющих EX, EY, HX  и HY.  Поэтому  для нахождения  решения  достаточно иметь хотя бы одно решение и тогда из него можно получить бесконечное множество других решений.

Смысл преобразований, задаваемых преобразованиями (1) можно трактовать как преобразование области на область [7], в отличие от преобразований системы координат [8,9]. Различие этих трактовок состоит в том, что преобразование системы координат ведет к появлению коэффициентов Ламэ, с которыми связаны трудности решения системы уравнений Максвелла. Коэффициенты Ламэ являются функциями точки пространства, поэтому разделение переменных возможно только в ограниченном числе простых случаев.  Преобразование области на область рассматриваются в декартовой системе координат, и коэффициенты Ламэ всегда равны единице. Это существенно упрощает получение решений системы уравнений Максвелла.

Назовем группу, действующую на Т – полях, групповая операция которой определяется компонентами комплексной функции, группой преобразований Т – полей.

В качестве исходного решения для преобразования (1) в общем случае может быть выбрано не только решение в виде Т-волн, но и решение, имеющее составляющую электрического и (или) магнитного поля  вдоль z – координаты. В этом случае уравнения Максвелла, связывающие z – компоненту при преобразованиях (1) становятся противоречивыми между собой для этой компоненты. Их совместное решение возможно только при тождественном равенстве нулю составляющих поля вдоль координаты z. Это утверждение  может быть проверено непосредственно. Поэтому использование комплексных преобразований продуктивно только для Т – полей.

ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Т-ПОЛЕЙ СОСТАВЛЯЮЩИМИ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИИЙ

Покажем, что любое Т – поле, являющееся решением системы Уравнений Максвелла, представляется некоторой функцией комплексного переменного. Такое представление позволяет использовать  все известные свойства теории функций комплексного переменного для изучения свойств Т – полей и получения новых решений.

Здесь будет использована форма представления системы уравнений Максвелла в системе единиц Хэвисайда, в которой магнитная и электрическая проницаемости среды равны единице: ε=μ=1 [10].

Выпишем однородные уравнения Максвелла с учетом составляющих только по x и  y [1,2]:

(9-16):

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial E_{Y} }{\partial z}=\frac{\partial H_{X} }{\partial  t},\mbox{\, \, \, } \\   -\frac{\partial H_{Y} }{\partial z}=\frac{\partial E_{X} }{\partial  t},\mbox{\, \, } \\   \end{array} \]

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial H_{X} }{\partial z}=\frac{\partial E_{Y} }{\partial t}, \\   \frac{\partial E_{X} }{\partial z}=-\frac{\partial H_{Y} }{\partial t}, \\   \frac{\partial E_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial E_{X} }{\partial  y}=0,\mbox{\, } \\   \frac{\partial E_{X} }{\partial x}+\frac{\partial E_{Y} }{\partial  y}=0,\mbox{\, \, } \\   \end{array} \]

    \[ \begin{array}{l}  \frac{\partial H_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial H_{X} }{\partial y}=0, \\   \frac{\partial H_{X} }{\partial x}+\frac{\partial H_{Y} }{\partial y}=0. \\   \end{array} \]

Из уравнений (9) – (16) видно, что  возможно разделение переменных – в уравнения (9) – (12) входят  производные  только по z и  t, а в уравнения (13) – (16) – производные по x и  y. Следовательно, составляющие решения системы уравнений (9) – (16) можно представить в виде произведения из двух функций, одна из которых зависит только от x и  y, а другая – от z и  t [11].

Составляющие Т-полей электромагнитного поля могут быть представлены  одним из двух следующих вариантов:

(17):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  E_{X} =E_{X0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   E_{Y} =E_{Y0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{X} =H_{X0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{Y} =-H_{Y0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   \end{array}} \right. \]

(18):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  E_{X} =E_{X0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   E_{Y} =-E_{Y0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{X} =-H_{X0} \psi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   H_{Y} =-H_{Y0} \phi (x,y)F(n_{Z} z-n_{t} t), \\   \end{array}} \right. \]

где: φ и Ψ- пара функций, составляющая комплексную функцию и удовлетворяющая условиям Коши – Римана (2); F – произвольная действительная, непрерывная, дифференцируемая и конечная функция, nZ  и  nt – действительные коэффициенты, EX0, EY0, HX0  и HY0  — действительные амплитудные множители.

Для проверки этого утверждения достаточно проверить выполнение  уравнений системы уравнений Максвелла (9) – (16)  для составляющих поля (17) или (18):

(19):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  n_{Z} E_{Y0} \phi {F}'=n_{t} H_{X0} \phi {F}', \\   n_{Z} H_{X0} \phi {F}'=n_{t} E_{Y0} \phi {F}', \\   n_{Z} H_{Y0} \psi {F}'=n_{t} E_{X0} \psi {F}', \\   n_{Z} E_{X0} \psi {F}'=n_{t} H_{Y0} {F}', \\   E_{Y0} {\phi }'_{X} F-E_{X0} {\psi }'_{Y} F=0, \\   H_{Y0} {\psi }'_{X} F+H_{X0} {\phi }'_{Y} F=0, \\   E_{X0} {\psi }'_{X} F+E_{Y0} {\phi }'_{Y} F=0, \\   H_{X0} {\phi }'_{X} F-H_{Y0} {\psi }'_{Y} F=0. \\   \end{array}} \right. \]

(20):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  n_{Z} E_{Y0} \psi {F}'=n_{t} H_{X0} \psi {F}', \\   n_{Z} H_{X0} \psi {F}'=n_{t} E_{Y0} \psi {F}', \\   n_{Z} H_{Y0} \phi {F}'=n_{Z} E_{X0} \phi {F}', \\   n_{Z} E_{X0} \phi {F}'=n_{t} \phi H_{Y0} {F}', \\   E_{Y0} {\psi }'_{X} F+E_{X0} {\phi }'_{Y} F=0, \\   -H_{Y0} {\phi }'_{X} F+H_{X0} {\psi }'_{Y} F=0, \\   E_{X0} {\phi }'_{X} F-E_{Y0} {\psi }'_{Y} F=0, \\   H_{X0} {\psi }'_{X} F+H_{Y0} {\phi }'_{Y} F=0. \\   \end{array}} \right. \]

Из соотношений (19) или (20) с учетом условий Коши – Римана (2) можно получить соотношения для действительных коэффициентов в выражениях (17) или (18):

(21):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  E_{X0} =H_{Y0} ,E_{Y0} =H_{X0} , \\   n_{Z} =n_{t} \\   \end{array}} \right. \]

Составляющие электрического и магнитного полей представим в виде  составляющих векторов комплексной дифференцируемой функции в следующем виде соответственно для представления (17) и (18):

(22):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \overline E =E_{Y} +i\cdot E_{X} =E_{0} (\phi +i\cdot \psi )F, \\   \overline H =H_{Y} +i\cdot H_{X} =H_{0} (-\psi +i\cdot \phi )F. \\   \end{array}} \right. \]

(23):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \overline E =E_{X} +i\cdot E_{Y} =E_{0} (\phi -i\cdot \psi )F, \\   \overline H =H_{X} +i\cdot H_{Y} =H_{0} (-\psi -i\cdot \phi )F. \\   \end{array}} \right.\mbox{\, \, } \]

Где: E0=H0действительные амплитудные множители.

Вектора электрических и магнитных составляющих Т — полей ортогональны между собой и связаны следующими соотношениями  соответственно для представления (17) и (18), и (22) и (23):

(24-25):

    \[ i\cdot \overline E =\overline H ,{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {\mbox{\, \, \, \, \, \, }-i\cdot \overline E =\overline H .}  \hfill \\ \end{array} } \]

Следовательно, любая дифференцируемая комплексная функция, удовлетворяющая условиям Коши – Римана (2), представляет некоторое переменное электромагнитное Т — поле по представлениям (17) или (18). Верно и обратное утверждение: любое переменное электромагнитное Т —  поле может быть представлено составляющими комплексной дифференцируемой функции, удовлетворяющей условиям Коши – Римана. При этом электрическое поле представляется как векторное поле, а магнитное поле – векторное поле, ему ортогональное. Это представление позволяет получать новые решения системы уравнений Максвелла в виде Т – полей и исследовать их свойства.