Кравчик Ю.С.

1. ПРИМЕНЕНИЕ 3D-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Кравчик Ю.С. ПРИМЕНЕНИЕ 3D 002 pdf

Данная статья относится к электродинамике. Традиционные методы точного расчета электромагнитного поля посредством преобразования систем координат [1] позволяют рассчитать поле в ограниченном числе случаев, а приближенные методы не всегда отвечают техническим потребностям расчета электромагнитных устройств и систем. Поэтому цель данной статьи – предложить метод получения 3-D-решений системы уравнений Максвелла на примерах получения решений вблизи ребристой структуры и поверхности 2-го порядка.

Будем искать такие 3-D-преобразования, которые преобразуют решение системы уравнений Максвелла в решение.

Запишем систему уравнений Максвелла [1,2] в системе единиц СИ в следующем виде:

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \frac{\partial E_{Z} }{\partial y}-\frac{\partial E_{Y} }{\partial z}+\mu  \frac{\partial H_{X} }{\partial t}+\frac{\partial \beta }{\partial  x}=0,\mbox{\, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(1)} \hfill \\ \end{array} } \\   -\frac{\partial E_{Z} }{\partial x}+\frac{\partial E_{X} }{\partial z}+\mu  \frac{\partial H_{Y} }{\partial t}+\frac{\partial \beta }{\partial  y}=0,{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(2)} \hfill \\ \end{array} } \\   \frac{\partial E_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial E_{X} }{\partial y}+\mu  \frac{\partial H_{Z} }{\partial t}+\frac{\partial \beta }{\partial  z}=0,\mbox{\, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(3)} \hfill \\ \end{array} } \\   \frac{\partial H_{Z} }{\partial y}-\frac{\partial H_{Y} }{\partial  z}-\varepsilon \frac{\partial E_{X} }{\partial t}-\frac{\partial \alpha  }{\partial x}=0,\mbox{\, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(4)} \hfill \\ \end{array} } \\   -\frac{\partial H_{Z} }{\partial x}+\frac{\partial H_{X} }{\partial  z}-\varepsilon \frac{\partial E_{Y} }{\partial t}-\frac{\partial \alpha  }{\partial y}=0,\mbox{\, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(5)} \hfill \\ \end{array} } \\   \frac{\partial H_{Y} }{\partial x}-\frac{\partial H_{X} }{\partial  y}-\varepsilon \frac{\partial E_{Z} }{\partial t}-\frac{\partial \alpha  }{\partial z}=0,\mbox{\, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(6)} \hfill \\ \end{array} } \\   \frac{\partial E_{X} }{\partial x}+\frac{\partial E_{Y} }{\partial  y}+\frac{\partial E_{Z} }{\partial z}-\frac{1}{\varepsilon }\frac{\partial  \alpha }{\partial t}=0,\mbox{\, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(7)} \hfill \\ \end{array} } \\   \frac{\partial H_{X} }{\partial x}+\frac{\partial H_{Y} }{\partial  y}+\frac{\partial H_{Z} }{\partial z}-\frac{1}{\mu }\frac{\partial \beta  }{\partial t}=0.\mbox{\, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(8)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array}} \right. \]

Где: EX,EY,EZ,HX,HY,HZ – соответственно, составляющие электрического и магнитного полей, α и β, соответственно, электрический и магнитный потенциалы [2], x,y,z и t — пространственные и временная переменные. Следует учитывать, что представления магнитных и электрических потенциалов α и β могут меняться ролями вследствие симметрии перестановки между магнитным и электрическим полями [6]. В системе единиц Хэвисайда электрическая и магнитная проницаемости равны единице: ε=μ=1

Рассмотрим следующую задачу. Пусть задана функция — решение F(x,y,z,t) системы уравнений Максвелла (1)-(8) и некоторое преобразование f системы координат:

(9):

    \[ f(x,y,z,t)=({x}',{y}',{z}',{t}'),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(9)} \hfill \\ \end{array} } \]

где: x′,y′,z и t новые пространственные и временная координаты.

Тогда при каких условиях функция F(f) так же является решением системы уравнений Максвелла.

Или, другими словами, какие функции преобразования системы координат переводят решение системы уравнений Максвелла в решение, или, сокращенно, являются допустимыми преобразованиями.

В [2] предложены М-числа — вариант 8-мерного обобщения комплексных чисел. Их свойства выбраны так, что условия дифференцирования функций над ними (М-функций) тождественны системе уравнений Максвелла. Рассмотрим М-фнкции [2] как аналог комплексных функций. В случае комплексных функций допустимыми преобразованиями являются преобразования, которые сами удовлетворяют условиям Коши-Римана [4]. Рассуждая по аналогии, следует предположить, что в случае М-функций допустимыми преобразованиями являются функции, удовлетворяющие условиям дифференцирования, или уравнениям Максвелла. Следовательно, решения системы уравнений Максвелла с учетом двулистности значений следует рассматривать как преобразования системы координат следующего вида:

(10):

    \[ \begin{array}{l}  \lambda =(x,y,z,t)\buildrel f \over \longrightarrow  ({x}',{y}',{z}',{t}',{X}',{Y}',{Z}',{T}')= \\   =(E_{X} ,E_{Y} ,E_{Z} ,\alpha ,H_{X} ,H_{Y} ,H_{Z} ,\beta )={\lambda  }'+{\Lambda }', \\   \end{array} \]

 

где: X, ́Y, ́Z, ́T ́- пространственные и временная переменные листа Λ ́ большой переменной [2], λ ́- лист малой переменной.

Следовательно, решением рассматриваемой задачи будет следующее утверждение. Сложная функция F(f) принадлежит области решений системы уравнений Максвелла, если F(λ) и f(λ) принадлежат области решений системы уравнений Максвелла. Другим словами, сложная функция принадлежит области решений системы уравнений Максвелла, если ее составляющие функции принадлежат той же области.

Справедливость этого утверждения проверяется непосредственной проверкой в системе единиц Хэвисайда. Действительно, проверим сохранение первого уравнения (1) системы уравнений Максвелла. Его компоненты (1) при преобразовании (9) изменятся следующим образом:

(11):

    \[ \frac{\partial E_{Z} }{\partial {y}'}=\frac{\partial E_{Z} }{\partial  x}\frac{\partial x}{\partial {y}'}(1)+\frac{\partial E_{Z} }{\partial  y}\frac{\partial y}{\partial {y}'}(2)+\frac{\partial E_{Z} }{\partial  z}\frac{\partial z}{\partial {y}'}(3)+\frac{\partial E_{Z} }{\partial  t}\frac{\partial t}{\partial {y}'}(4),\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \,  }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(11)} \hfill \\ \end{array} } \]

(12):

    \[ -\frac{\partial E_{Y} }{\partial {z}'}=-\frac{\partial E_{Y} }{\partial  x}\frac{\partial x}{\partial {z}'}(4)-\frac{\partial E_{Y} }{\partial  y}\frac{\partial y}{\partial {z}'}(3)-\frac{\partial E_{Y} }{\partial  z}\frac{\partial z}{\partial {z}'}(2)-\frac{\partial E_{Y} }{\partial  t}\frac{\partial t}{\partial {z}'}(1),\mbox{\, \, \, \, \,  }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(12)} \hfill \\ \end{array} } \]

(13):

    \[ \frac{\partial H_{X} }{\partial {t}'}=\frac{\partial H_{X} }{\partial  x}\frac{\partial x}{\partial {t}'}(3)+\frac{\partial H_{X} }{\partial  y}\frac{\partial y}{\partial {t}'}(4)+\frac{\partial H_{X} }{\partial  z}\frac{\partial z}{\partial {t}'}(1)+\frac{\partial H_{X} }{\partial  t}\frac{\partial t}{\partial {t}'}(2), \]

(14):

    \[ \frac{\partial \beta }{\partial {x}'}=\frac{\partial \beta }{\partial  x}\frac{\partial x}{\partial {x}'}(2)+\frac{\partial \beta }{\partial  y}\frac{\partial y}{\partial {x}'}(1)+\frac{\partial \beta }{\partial  z}\frac{\partial z}{\partial {x}'}(4)+\frac{\partial \beta }{\partial  t}\frac{\partial t}{\partial {x}'}(3).\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(14)} \hfill \\ \end{array} } \]

Здесь индексы (1)-(4) в круглых скобках означают члены суммы, которые будем группировать между собой. Тогда правые множители слагаемых с одинаковыми индексами равны между собой с точностью до действительного множителя, т.к. являются компонентами общего решения системы уравнений Максвелла. После группирования их можно вынести как равные множители за скобки. Получим сумму решений уравнений Максвелла с нулевыми результатами. Например, сумма составляющих с индексом (2) из (11)-(14) даст следующий результат:
(15):

    \[ \left( {\frac{\partial E_{Z} }{\partial y}-\frac{\partial E_{Y} }{\partial  z}+\frac{\partial \beta }{\partial x}+\frac{\partial H_{X} }{\partial t}}  \right)\left( {\frac{\partial x}{\partial {x}'}+\frac{\partial y}{\partial  {y}'}+\frac{\partial z}{\partial {z}'}+\frac{\partial t}{\partial {t}'}}  \right)\frac{1}{4}=0\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }(15) \]

вследствие уравнения (7) системы уравнений Максвелла (1)-(8). Остальные составляющие дадут нулевую сумму вследствие условий (1)-(8). Например, следующие составляющие:

(16):

    \[ \frac{\partial E_{Z} }{\partial x}\frac{\partial x}{\partial  {y}'}+\frac{\partial \beta }{\partial y}\frac{\partial y}{\partial  {x}'}=\frac{\partial E_{Z} }{\partial x}\left( {\frac{\partial x}{\partial  {y}'}+\frac{\partial y}{\partial {x}'}} \right)\equiv  0,{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(16)} \hfill \\ \end{array} } \]

образует нулевую сумму. Действительно,

    \[ \frac{\partial E_{Z} }{\partial x}=\frac{\partial \beta }{\partial y} \]

вследствие (2), и

    \[ \frac{\partial x}{\partial {y}'}=-\frac{\partial y}{\partial {x}'} \]

вследствие (3), т.к. ротор образует ненулевую комбинацию для электромагнитного поля. Если ротор образует нулевую комбинацию, то такая компонента не принадлежит электромагнитному полю, выпадает из области решений системы уравнений Максвелла и не участвует в электромагнитной индукции [3].

Аналогично проверяется выполнение других уравнений системы уравнений Максвелла (1)-(8). Хотя, достаточно проверки для одного уравнения, поскольку остальные уравнения первой пары системы уравнений Максвелла тождественны между собой с точностью до преобразования из группы поворота на 90° или применения группы преобразования Е→Н→(-Е).

Доказанное свойство решений системы уравнений Максвелла используем для получения новых решений. Рассмотрим это на следующих примерах.