2. ЭТАПЫ ПОЛУЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ

Получение решений системы уравнений Максвелла, с использованием рассмотренных свойств, представим в виде следующих шагов.

  1. Выбираем некоторое известное решение.
  2. С помощью преобразования получаем другое решение. Преобразование выбираем из множества преобразований, переводящих одно решение в другое, т.е. из группы системы уравнений Максвелла. Как показано выше, такими преобразованиями являются дифференцируемые комплексные функции для Т-полей. В качестве преобразования может быть так же выбран член 17–параметрической непрерывной группы Ли [4] системы уравнений Максвелла.
  3. Для этого решения по известным методам строим семейство силовых линий магнитного и электрического полей для выбранного момента времени.
  4. Строим поверхность, для которой векторы магнитного поля будут касательными. Для такой поверхности силовые линии магнитного поля будут сечениями координатными поверхностями. Построенная так поверхность может быть заменена идеально проводящей поверхностью. Если положение этой поверхности не меняется с течением времени, то выбранное решение будет решением граничной задачи для построенной поверхности – силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны магнитным. Для одного решения может быть построено несколько вариантов таких поверхностей, следовательно, тогда выбранное решение будет решением для семейства граничных задач. Построенную так поверхность назовем поверхностью выполненных граничных условий. Преобразования с использованием комплексных функций хорошо изучены [7] и могут быть использованы для нахождения их собственных функций и поверхностей. Возможен и обратный путь – нахождение собственного решения для заданного профиля. В данной работе рассматривается первый вариант – нахождение собственной функции и ее семейства поверхностей с выполненными граничными условиями по выбранному преобразованию.

Рассмотрим применение этого подхода на следующих примерах.

ПРИМЕРЫ ПОЛУЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОТОБРАЖЕНИЕМ ОБЛАСТИ НА ОБЛАСТЬ

В соответствии с п.1 выбираем известное решение – плоскую однородную волну [1,2] в следующем представлении при EX0=HY0=0 в (21), (22):

(26):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \overline E =E_{Y0} \cdot F(z,t), \\   \overline H =i\cdot H_{X0} \cdot F(z,t). \\   \end{array}} \right.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill & {(26)} \hfill \\ \end{array} } \]

Семейство поверхностей выполненных граничных условий для плоской волны (26) является семейством плоскостей, перпендикулярных плоскости (x,y). 

В соответствии с п. 2, в качестве примера преобразования выбираем функцию, отображающую верхнюю полуплоскость на  плоскость с полосой высотой h, установленной вдоль оси z [7]:

(27):

    \[ \phi +i\cdot \psi =\sqrt {(n{x}'-i\cdot n{y}')^{2}-h^{2}}  .{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & \hfill & {(27)} \hfill \\ \end{array} } \]

В (27) n и h – действительные параметры.

Но функция (27) не  может быть разложена  на сумму действительной и мнимой составляющей рационально. Поэтому разложим функцию (27) в ряд Тейлора. Ограничиваясь тремя первыми членами и разделяя действительную и мнимую составляющие, получим следующее выражение:

(28):

    \[ \begin{array}{l}  \phi +i\cdot \psi \approx \\   \approx  \frac{1}{16h^{3}}(16h^{2}n^{2}{x}'{y}'+8n^{4}{x}'^{3}{y}'-8n^{4}{x}'{y}'^{3})-  \\   -i\cdot \frac{1}{16h^{3}}(16h^{4}-8h^{2}n^{2}{x}'^{2}+8h^{2}n^{2}{y}'^{2}-  \\   -2n^{4}{x}'^{4}+12n^{4}{x}'^{2}{y}'^{2}-2n^{4}{y}'^{4}).\mbox{\, \, } \\   \end{array} \]

Составляющие комплексной функции (27) входят в выражения (17) или (18) и совместно с ними определяют решение в виде Т – волны.

Построим силовые линии электромагнитного поля, лежащие в плоскости  (x,y). Для этого возведем обе части выражения (27) в квадрат, раскроем скобки. Приравняем между собой действительные и мнимые составляющие. Получим следующую систему уравнений:

(29):

    \[ \left\{ {\begin{array}{l}  \phi^{2}-\psi^{2}=n^{2}{x}'^{2}-n^{2}{y}'^{2}-h^{2}, \\   \phi \psi =n^{2}{x}'{y}'. \\   \end{array}} \right. \]

Для вывода уравнения силовых линий магнитного поля из второго уравнения системы (29) найдем x′ и результат подставим в первое уравнение системы (29). Полученное уравнение решим относительно φ:

(30):

    \[ \phi (\psi )=\sqrt {\frac{n^{2}\psi  ^{2}{y}'^{2}+n^{2}{y}'^{2}+h^{2}n^{2}{y}'^{2}}{n^{2}{y}'^{2}+\psi^{2}}.}  \]

Выражение (30) ψ(φ)  определяет семейство силовых линий магнитного поля при различных значениях параметра  y′.

Для вывода уравнения силовых линий электрического поля найдем y′ из второго уравнения системы (29) и результат подставим в первое уравнение системы (29). Полученное уравнение решим относительно φ:

(31):

    \[ \phi (\psi )=\sqrt {\frac{n^{4}{x}'^{4}-n^{2}{x}'^{2}h^{2}-\psi  ^{2}n^{2}{x}'^{2}}{\psi^{2}-n^{2}{x}'^{2}}} . \]

Выражение (31) ψ(φ) определяет семейство силовых линий электрического поля при различных значениях параметра x′. Графики семейства функций (30) и (31) показаны на рисунке 1. На рисунке 1 представлено сечение электромагнитного поля Т-волны  плоскостью (x,y). Пунктирными линиями обозначены силовые линии магнитного поля, сплошными – силовые линии электрического поля. В соответствии с п. 5, пунктирные линии являются сечениями семейства поверхностей выполненных граничных условий.

Одно ребро. Рис. 1

РИСУНОК 1.

Другой пример – функция, отображающая полупространство, ограниченное проводящей плоскостью, на полупространство, ограниченное проводящей плоскостью и установленной на ней решеткой из  полос одинаковой высоты с равным шагом   на плоскость [7]:

(32):

    \[ \phi +i\cdot \psi =\arccos (a\cos (n{x}'-i\cdot n{y}')). \]

В (32) a определяет высоту полос. Функция (32) так же не может быть представлена рационально в виде суммы действительных и мнимых составляющих. Поэтому для разложения на действительную и мнимую части разложим функцию (32) в функциональный ряд Тейлора и ограничимся тремя первыми членами:

(33):

    \[ \begin{array}{l}  \phi +i\cdot \psi \approx a\sin (nx)ch(ny)+ \\   +\frac{1}{6}a^{3}\sin^{3}(nx)ch^{3}(ny)- \\   -\frac{1}{2}a^{3}\sin (nx)ch(ny)\cos^{2}(nx)sh^{2}(ny)+ \\   +i\cdot [(-a)\cos (nx)sh(ny)- \\   -\frac{1}{2}a^{3}\sin^{2}(nx)ch^{2}(ny)\cos (nx)sh(ny)+ \\   +\frac{1}{6}a^{3}\cos^{3}(nx)sh^{3}(ny)]. \\   \end{array} \]

Так же как и (28),  составляющие комплексной функции (33) входят в выражения (17) или (18) и совместно с ними определяют решение в виде Т – волны.

Уже в этом случае аналитическое построение силовых линий вызывает трудности и требует применения вычислительных методов для выполнения п. 5, т.к. уравнение (32) является трансцендентным. На рисунке 2 представлено поле векторов магнитного поля в плоскости (x,y).    Электрическая компонента может быть получена в каждой точке плоскости сечения поворотом вектора магнитного поля на 90° по часовой стрелке,  либо против,  в соответствии с (24) или (25). Этот рисунок получен численным методом на основе разложения в ряд (33). Представление силовых линий электрического и магнитного поля так же может быть получено численными методами.

Решетка поперечных полос. Рис. 2

РИСУНОК 2.

Подобная задача рассматривалась, например, в работах [1,12], в которых решение получают путем сопряжения частных решений отдельных подобластей, на которые разделяют всю область решения. Недостаток такого подхода состоит в том, что должно быть непрерывно не только решение, но и все его первые частные производные. Но выполнение этих условий в полном объеме невозможно, т. к. система условий становится избыточной в областях сопряжения. Предлагаемый подход позволяет получить  решение с произвольной точностью. Действительно, остаточный член, определяющий ошибку представления ряда Тейлора,  в форме Коши [13]:

(34):

    \[ \begin{array}{l}  R_{n+1} (x+i\cdot y)= \\   =\frac{(x+i\cdot y)^{n+1}(1-\theta )^{n}}{n!}\times \\   \times (\phi +i\cdot \psi )^{(n+1)}(\theta \cdot (x+i\cdot y)), \\   \end{array} \]

где: Rn+1 – остаточный член, 0‹θ‹1- действительный параметр.

Компоненты φ и ψ конечны, и при выборе n достаточно большим, можно получить ошибку представления  Rn+1 сколь угодно малой.

Из имеющихся преобразований (28) и (33) с помощью операций теории функций комплексного переменного  могут быть получены и другие решения, описывающие электромагнитные  Т – поля. Данная работа является продолжением работы [14].

В заключение заметим, что представленный путь получения решений системы уравнений Максвелла позволяет получать и исследовать решения в конечном виде для широкого класса одно-связанных поперечно-однородных структур.

Рисунок 2 выполнил Кравчик Ю.Ю. с использованием специализированного оригинального программного обеспечения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  • Никольский Н.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978. – 543 с.
  • Вольман В.И., Пименов Ю.В. Техническая электродинамика. – М.: Связь, 1971. – 487с.
  • Князь А.И. Комплексные потенциалы трехмерных электрических и магнитных полей. – Киев – Одесса: Вища школа, !981. – 120 с.
  • Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 400с.
  • Кравчик Ю.С. Обобщение комплексных чисел и их применение в электродинамике // Праці УНДІРТ. – 2003. — №4(36).
  • Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. – М.: Наука, 1986. – 495с.
  • Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1982. – 488 с.
  • Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1977. – 504с.
  • Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. – Харьков.: Изд. Харьковского университета, 1972. –255с.
  1. Лифшиц М.С. Операторы, колебания, волны. Открытые системы. – М.: Наука, 1966. – 298с.
  2. Броль де Луи. Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах. – М.: Иностранная литература, 1948. — 108c.
  3. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. – М.: Изд. иностранной литературы, 1959. – 424с.
  4. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1.- М.: Наука, 1982. – 616с.
  5. Кравчик Ю.С. Нахождение решений  системы уравнений Максвела с использованием двумерных преобразований // Наукові праці УДАЗ ім. О.С. Попова.