2. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ 3-D РЕШЕНИЙ В ПОПЕРЕЧНО-ОДНОРОДНЫХ СТРУКТУТАХ

Ранее в работе [3] рассматривались примеры получения Т- решений системы уравнений Максвелла с использованием комплексных функций. Рассмотрим примеры получения существенно трехмерных решений с использованием комплексных функций как частного и упрощенного случая 3-D-преобразования.

Пусть задана комплексная функция f(x,y), удовлетворяющая условиям Коши-Римана [4], отображающая некоторую область (x,y) на верхнюю полуплоскость комплексной плоскости (x ́,y ́):

(17):

    \[ f(x,y)=({x}',{y}').{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(17)} \hfill \\ \end{array} } \]

 

Экспоненциальная функция exp(λ) М-аргумента может рассматриваться как функция, отображающая верхнее полупространство в область 4-куба значений [2]. Функция exp(λ) определяет множество решений в виде электрических и магнитных функций для прямоугольного резонатора [1,2], а так же для верхнего полупространства над проводящей плоскостью вследствие выполнения граничных условий [1]. Поэтому сложная функция

    \[ \exp ({x}',{y}',z,t) \]

так же будет решением системы уравнений Максвелла для некоторой поперечно-однородной структуры, сечение которой определяет функция f(x,y). При этом функция f(x,y) отображает некоторую область на верхнюю полуплокость комплексной плоскости.

В качестве примера рассмотрим комплексную функцию f-1(x,y), преобразующую верхнюю полуплоскость комплексного пространства на полуплоскость с установленными на ней равноотстоящими ребрами [4,5]. Обратную ей комплексную функцию f(x,y)представим в следующем виде:

(18):

    \[ f(x+i\cdot y)=\arccos \left( {\frac{1}{a}\cos (x+i\cdot y)}  \right)=({x}'+i\cdot {y}'),{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(18)} \hfill \\ \end{array} } \]

где: a – действительный параметр задачи, i — мнимая единица.

Функцию f(x,y) (18) будем трактовать не как Т-поле [5], а как функцию, описывающую преобразование (x,y) →(x‘,y‘) [4].

Тогда следующая функция будет 3-D-решением для исходной области:

(19):

    \[ \begin{array}{l}  \exp ({\lambda }')=\exp (i\cdot {x}'+j\cdot {y}'+k\cdot z+I\cdot t)=\exp  (({x}'+k\cdot {y}')\cdot i+k\cdot z+I\cdot t)= \\   =\exp (f(x+k\cdot y)\cdot i+k\cdot z+I\cdot t)= \\   =\exp \left( {\left( {\arccos \frac{1}{a}\cos (x+k\cdot y)} \right)\cdot  i+k\cdot z+I\cdot t} \right). \\   \end{array} \]

 

Где: i,j,k – кватернионные мнимые единицы, I – коммутативная мнимая единица [2].

Функцию arcos(x+iy) нельзя представить в конечном виде в виде суммы действительной и мнимой составляющей. Поэтому для ее вычисления воспользуемся разложением в степенной ряд с тремя членами [5]:

(20):

    \[ \begin{array}{l}  \exp ({\lambda }')\approx \exp \left\{ \right.\left\{  \right.\frac{1}{a}\sin (x)ch(y)+\frac{1}{6}\left( {\frac{1}{a}}  \right)^{3}\sin^{3}(x)ch^{3}(y)- \\   -\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\sin (x)ch(y)\cos  ^{2}(x)sh^{2}(y)+k\cdot [(-\frac{1}{a})\cos (x)sh(y)- \\   -\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\sin^{2}(x)ch^{2}(y)\cos  (x)sh(y)+\frac{1}{6}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\cos  ^{3}(x)sh^{3}(y)]\left. \right\} \cdot i+k\cdot z+I\cdot t\left. \right\} =  \\   =\exp \left\{ {\left\{ {{x}'+k\cdot {y}'\left. \right\} \cdot i+k\cdot  z+I\cdot t} \right.} \right\}.{\begin{array}{*{20}c}  {\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }} \hfill & \hfill & {(20)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]

После этого определим решение для данной задачи, представив экспоненциальную функцию через аналоги формулы Эйлера [2]:

(21):

    \[ \begin{array}{l}  \exp ({\lambda }')=(\cos {x}'+i\cdot \sin {x}')(\cos {y}'+j\cdot \sin  {y}')\times \\   \times (\cos {z}'+k\cdot \sin {z}')(\cos {t}'+I\cdot \sin {t}')= \\   =\cos {t}'\cos {x}'\cos {y}'\cos {z}'-\cos {t}'\sin {x}'\sin {y}'\sin {z}'+  \\   +i\cdot (\cos {t}'\sin {x}'\cos {y}'\cos {z}'+\cos {t}'\cos {x}'\sin  {y}'\sin {z}')+ \\   +j\cdot (\cos {t}'\cos {x}'\sin {y}'\cos {z}'-\cos {t}'\sin {x}'\cos  {y}'\sin {z}')+ \\   +k\cdot (\cos {t}'\cos {x}'\cos {y}'\sin {z}'+\cos {t}'\sin {x}'\sin  {y}'\cos {z}')+ \\   +I\cdot (\sin {t}'\cos {x}'\cos {y}'\cos {z}'-\sin {t}'\sin {x}'\sin  {y}'\sin {z}')+\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\   +Ii\cdot (\sin {t}'\sin {x}'\cos {y}'\cos {z}'+\sin {t}'\cos {x}'\sin  {y}'\sin {z}')+ \\   +Ij\cdot (\sin {t}'\cos {x}'\sin {y}'\cos {z}'-\sin {t}'\sin {x}'\cos  {y}'\sin {z}')+ \\   +Ik\cdot (\sin {t}'\cos {x}'\cos {y}'\sin {z}'+\sin {t}'\sin {x}'\sin  {y}'\cos {z}')= \\   ={\alpha }'+i\cdot {E}'_{X} +j\cdot {E}'_{Y} +k\cdot {E}'_{Z} +I\cdot  {\beta }'+Ii\cdot {H}'_{X} +Ij\cdot {H}'_{Y} +Ik\cdot {H}'_{Z} , \\   \end{array} \]

 

где: x и yопределяются из (20), z‘=z,t‘=t.

Составляющие действительная и мнимые компоненты (21) представляют компоненты электрического и магнитного полей и потенциалов.

Полный спектр решений в виде электрических и магнитных функций определяется численно после введения размерностных и амплитудных коэффициентов в формулу (21) и подстановки ее компонент в систему уравнений Максвелла, записанную в системе единиц СИ (1)-(8), где ε и μ не равны единице.

Граничные условия для функции (19) запишем в следующем виде аналогично [1]:

(22):

    \[ \arccos \left( {\frac{1}{a}\cos (x+i\cdot y)} \right)\cdot i+k\cdot z=\left(  {m_{X} \pi x+k\cdot m_{Y} \pi y} \right)\cdot i+k\cdot m_{Z} \pi  z.{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(22)} \hfill \\ \end{array} } \]

 

 

Где: mX, mY ,mZ – целочисленные параметы, определяющие границы ячеек, на которые разбивается область с ребрами и проводящей плоскостью. В каждой ячейке присутствует спектр электрических и магнитных функций, аналогичных прямоугольному резонатору с учетом их преобразования по выражению (18). В случае представления функции arccos в ряд с тремя членами, получим следующее уравнение:

(23):

    \[ \left\{ \right.\frac{1}{a}\sin (x)ch(y)+\frac{1}{6}\left( {\frac{1}{a}}  \right)^{3}\sin^{3}(x)ch^{3}(y)- \]

    \[ -\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\sin (x)ch(y)\cos  ^{2}(x)sh^{2}(y)+k\cdot [(-\frac{1}{a})\cos (x)sh(y)- \]

    \[ \begin{array}{l}  -\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\sin^{2}(x)ch^{2}(y)\cos  (x)sh(y)+ \\   +\frac{1}{6}\left( {\frac{1}{a}} \right)^{3}\cos^{3}(x)sh^{3}(y)]\left.  \right\} \cdot i+k\cdot z= \\   \end{array} \]

    \[ =i\cdot {x}'+j\cdot {y}'+k\cdot z= \]

    \[ =\left( {m_{X} \pi x+k\cdot m_{Y} \pi y} \right)\cdot i+k\cdot m_{Z} \pi z. \]

 

 

В случае прямоугольного резонатора, это прямоугольные клетки, которыми режется верхнее полупространство на ячейки прямоугольных резонаторов. В случае (20)-(23) – это некоторые цилиндрические поверхности. Заметим без доказательства, что решение (18)-(21) вместе с решением [5] образуют между собой ортогональную систему функций аналогично тому, как поперечная однородная волна и решение для прямоугольного резонатора являются ортогональными и собственными функциями в полупространстве над плоской проводящей поверхностью.

Данный пример показывает возможность получения 3-D решений с использованием двумерных преобразований.