2. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ 3-D РЕШЕНИЙ В ПОПЕРЕЧНО-ОДНОРОДНЫХ СТРУКТУТАХ
2. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ 3-D РЕШЕНИЙ В ПОПЕРЕЧНО-ОДНОРОДНЫХ СТРУКТУТАХ
Ранее в работе [3] рассматривались примеры получения Т- решений системы уравнений Максвелла с использованием комплексных функций. Рассмотрим примеры получения существенно трехмерных решений с использованием комплексных функций как частного и упрощенного случая 3-D-преобразования.
Пусть задана комплексная функция f(x,y), удовлетворяющая условиям Коши-Римана [4], отображающая некоторую область (x,y) на верхнюю полуплоскость комплексной плоскости (x ́,y ́):
(17):
Экспоненциальная функция exp(λ) М-аргумента может рассматриваться как функция, отображающая верхнее полупространство в область 4-куба значений [2]. Функция exp(λ) определяет множество решений в виде электрических и магнитных функций для прямоугольного резонатора [1,2], а так же для верхнего полупространства над проводящей плоскостью вследствие выполнения граничных условий [1]. Поэтому сложная функция
так же будет решением системы уравнений Максвелла для некоторой поперечно-однородной структуры, сечение которой определяет функция f(x,y). При этом функция f(x,y) отображает некоторую область на верхнюю полуплокость комплексной плоскости.
В качестве примера рассмотрим комплексную функцию f-1(x,y), преобразующую верхнюю полуплоскость комплексного пространства на полуплоскость с установленными на ней равноотстоящими ребрами [4,5]. Обратную ей комплексную функцию f(x,y)представим в следующем виде:
(18):
где: a – действительный параметр задачи, i — мнимая единица.
Функцию f—(x,y) (18) будем трактовать не как Т-поле [5], а как функцию, описывающую преобразование (x,y) →(x‘,y‘) [4].
Тогда следующая функция будет 3-D-решением для исходной области:
(19):
Где: i,j,k – кватернионные мнимые единицы, I – коммутативная мнимая единица [2].
Функцию arcos(x+iy) нельзя представить в конечном виде в виде суммы действительной и мнимой составляющей. Поэтому для ее вычисления воспользуемся разложением в степенной ряд с тремя членами [5]:
(20):
После этого определим решение для данной задачи, представив экспоненциальную функцию через аналоги формулы Эйлера [2]:
(21):
где: x‘ и y‘ определяются из (20), z‘=z,t‘=t.
Составляющие действительная и мнимые компоненты (21) представляют компоненты электрического и магнитного полей и потенциалов.
Полный спектр решений в виде электрических и магнитных функций определяется численно после введения размерностных и амплитудных коэффициентов в формулу (21) и подстановки ее компонент в систему уравнений Максвелла, записанную в системе единиц СИ (1)-(8), где ε и μ не равны единице.
Граничные условия для функции (19) запишем в следующем виде аналогично [1]:
(22):
Где: mX, mY ,mZ – целочисленные параметы, определяющие границы ячеек, на которые разбивается область с ребрами и проводящей плоскостью. В каждой ячейке присутствует спектр электрических и магнитных функций, аналогичных прямоугольному резонатору с учетом их преобразования по выражению (18). В случае представления функции arccos в ряд с тремя членами, получим следующее уравнение:
(23):
В случае прямоугольного резонатора, это прямоугольные клетки, которыми режется верхнее полупространство на ячейки прямоугольных резонаторов. В случае (20)-(23) – это некоторые цилиндрические поверхности. Заметим без доказательства, что решение (18)-(21) вместе с решением [5] образуют между собой ортогональную систему функций аналогично тому, как поперечная однородная волна и решение для прямоугольного резонатора являются ортогональными и собственными функциями в полупространстве над плоской проводящей поверхностью.
Данный пример показывает возможность получения 3-D решений с использованием двумерных преобразований.