3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА

Определение компонент электромагнитного поля в конечном виде возможно только в простейших случаях. В более сложных случаях представление электромагнитного поля в виде координатных составляющих требует разложения в степенной ряд. Поэтому из всех членов ряда рассмотрим линейную и квадратичную составляющие разложения и выясним их характеристики как полевого решения и геометрического преобразования системы координат.

Рассмотрим следующую линейную М – функцию f(λ):

(24):

      \[ \begin{array}{l}  f(\lambda )=\lambda A=(i\cdot x+j\cdot y+k\cdot z+I\cdot t)(i\cdot a+j\cdot  b+k\cdot c+I\cdot d)= \\   =(-ax-by-cz-dt)+i\cdot (cy-bz)+j\cdot (az-cx)+k\cdot (bx-ay)+ \\   +I\cdot 0+Ii\cdot (dx+at)+Ij\cdot (dy+bt)+Ik\cdot (dz+ct)=\mbox{\, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(24)} \hfill \\ \end{array} } \\   \end{array} \]
      \[ \begin{array}{l}  =\alpha +i\cdot H_{X} +j\cdot H_{Y} +k\cdot H_{Z} +Ii\cdot (-E_{X}  )+Ij\cdot (-E_{Y} )+Ik\cdot (-E_{Z} )= \\   ={T}'+i\cdot {x}'+j\cdot {y}'+k\cdot {z}'+Ii\cdot {X}'+Ij\cdot {Y}'+Ik\cdot  {Z}', \\   \end{array} \]

где: a,b,c и d – действительные параметры.

Подстановка составляющих электромагнитного поля (24) в систему уравнений Максвелла (1)-(8) в системе единиц Хэвисайда, как нетрудно проверить, дает тождество. Такое поле имеет следующий физический смысл. Электрическая составляющая E (24) и электрический потенциал α линейно изменяются во времени и пространстве. Магнитная составляющая H перпендикулярна электрической и постоянна во времени.

Рассмотрим (24) как системы преобразования координат двух видов. Первый вариант λ→λ’ преобразования по (10) и (24) соответствует повороту координатных осей:

(25):

      \[ i\cdot x+j\cdot y+k\cdot z=\lambda \to {\lambda }'=i\cdot (cy-bz)+j\cdot  (az-cx)+k\cdot (bx-ay).\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c}  \hfill & {(25)} \hfill \\ \end{array} } \]

Второй вариант λ→Λ’ преобразования по (10) и (24) соответствует переходу к движущейся системе координат с соответствующим изменением масштаба временной координаты и соответствует преобразованию Лоренца [2]:

(26):

    \[\lambda \to {\Lambda }'=(-ax-by-cz-dt)+Ii\cdot (dx+at)+Ij\cdot (dy+bt)+Ik\cdot (dz+ct).\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(26)} \hfill \\\end{array} }\]

Следующей  рассмотрим вариант квадратичной функции:

(27):

    \[\begin{array}{l} F(\lambda )=\lambda (\lambda A)=-x(cy-bz)-y(az-cx)-z(bx-ay)+ \\ +i\cdot \left( {x(-ax-by-cz-dt)-z(az-cx)+y(bx-ay)-t(dx+at)} \right)+ \\ +j\cdot \left( {y(-ax-by-cz-dt)+z(cy-bz)-x(bx-ay)-t(dy+bt)} \right)+ \\ +k\cdot \left( {z(-ax-by-cz-dt)-y(cy-bz)+x(az-cx)-t(dz+ct)} \right)+{\begin{array}{*{20}c} \hfill & ( \hfill \\\end{array} }27) \\ +I\cdot \left( {t(-ax-by-cz-dt)-x(dx+at)-y(dy+bt)-z(dz+ct)} \right)+ \\ +Ii\cdot \left( {t(cy-bz)+y(dz+ct)-z(dy+bt)} \right)+ \\ +Ij\cdot \left( {t(az-cx)+z\left( {dx+at} \right)-x(dz+ct} \right))+ \\ +Ik\cdot \left( {t(bx-ay)-y(dx+at)+x(dy+bt)} \right)= \\ ={T}'+i\cdot {x}'+j\cdot {y}'+{k}'\cdot {z}'+I\cdot {t}'+Ii\cdot {X}'+Ij\cdot {Y}'+Ik\cdot {Z}'={\lambda }'+{\Lambda }'. \\ \end{array}\]

Компоненты функции (27) записаны в системе единиц Хэвисайда. Рассмотрим функцию (27) как представление электромагнитного поля. Для перехода в систему единиц СИ необходимо ввести размерностные и амплитудные коэффициенты с учетом соответствия составляющих функции и составляющих электромагнитного поля [2]:

(28):

      \[ \begin{array}{l}  F(\lambda )=\lambda (\lambda A)=\alpha_{0} (-n_{X} x(cn_{Y} y-bn_{Z}  z)-n_{Y} y(an_{Z} z-cn_{X} x)- \\   -n_{Z} z(bn_{X} x-an_{Y} y)+ \\   +i\cdot H_{X0} \left( {\begin{array}{l}  n_{X} x(-an_{X} x-bn_{Y} y-cn_{Z} z-d\omega t)- \\   -n_{Z} z(an_{Z} z-cn_{X} x)+n_{Y} y(bn_{X} x-an_{Y} y)-\omega t(dn_{X}  x+a\omega t) \\   \end{array}} \right)+ \\   +j\cdot H_{Y0} \left( {\begin{array}{l}  n_{Y} y(-an_{X} x-bn_{Y} y-cn_{Z} z-d\omega t)+ \\   +n_{Z} z(cn_{Y} y-bn_{Z} z)-n_{X} x(bn_{X} x-an_{Y} y)-\omega t(dn_{Y}  y+b\omega t) \\   \end{array}} \right)+ \\   +k\cdot H_{Z0} \left( {\begin{array}{l}  n_{Z0} z(-an_{X} x-bn_{Y} y-cn_{Z} z-d\omega t)- \\   -n_{Y} y(cn_{Y} y-bn_{Z} z)+n_{X} x(an_{Z} z-cn_{X} x)-\omega t(dn_{Z}  z+c\omega t) \\   \end{array}} \right)+ \\   +I\cdot \beta_{0} \left( {\begin{array}{l}  \omega t(-an_{X} x-bn_{Y} y-cn_{Z} z-d\omega t)- \\   -n_{X} x(dn_{X} x+a\omega t)-n_{Y} y(dn_{Y} y+b\omega t)-n_{Z} z(dn_{Z}  z+c\omega t) \\   \end{array}} \right)- \\   -Ii\cdot E_{X0} \left( {\omega t(cn_{Y} y-bn_{Z} z)+n_{Y} y(dn_{Z}  z+c\omega t)-n_{Z} z(dn_{Y} y+b\omega t)} \right)- \\   -Ij\cdot E_{Y0} \left( {\omega t(an_{Z} z-cn_{X} x)+n_{Z} z\left( {dn_{X}  x+a\omega t} \right)-n_{X} x(dn_{Z} z+c\omega t} \right))- \\   -Ik\cdot E_{Z0} \left( {\omega t(bn_{X} x-an_{Y} y)-n_{Y} y(dn_{X}  x+a\omega t)+n_{X} x(dn_{Y} y+b\omega t)} \right). \\   \end{array} \]

 

Где: nX , nY, nZ ,ω – размерностные действительные коэффициенты, HX0, HY0, HZ0, EX0, EY0, EZ0 – амплитудные действительные коэффициенты.

Подстановка составляющих (28) в систему уравнений Максвелла, записанную в системе единиц СИ (1)-(8) дает следующие соотношения:

(29):

    \[\left\{ {\begin{array}{l} E_{Z0} n_{Y} +E_{Y0} n_{Z} =\mu H_{X0} \omega , \\ E_{Z0} n_{X} +E_{X0} n_{Z} =\mu H_{Y0} \omega , \\ E_{Y0} n_{X} +E_{X0} n_{Z} =\mu H_{Z0} \omega , \\ H_{Y0} n_{Z} =\varepsilon E_{X0} \omega , \\ H_{Z0} n_{Y} =\varepsilon E_{X0} \omega , \\ H_{X0} n_{Y} =\varepsilon E_{Z0} \omega , \\ H_{Y0} n_{X} =\varepsilon E_{Z0} \omega , \\ H_{X0} n_{Z} =\varepsilon E_{Y0} \omega , \\ H_{Z0} n_{X} =\varepsilon E_{Y0} \omega , \\ -2H_{X0} n_{X} +H_{Y0} n_{Y} +H_{Z0} n_{Z} =0, \\ -2H_{Y0} n_{Y} +H_{X0} n_{X} +H_{Z0} n_{Z} =0, \\ -2H_{Z0} n_{Z} +H_{X0} n_{X} +H_{Y0} n_{Y} =0, \\ d(H_{X0} n_{X} +H_{Y0} n_{Y} +H_{Z0} n_{Z} )=0. \\ \end{array}} \right.{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(29)} \hfill \\\end{array} }\]

Из (29) получим следующие соотношения:

(30):

    \[\begin{array}{l} E_{X0} =E_{Y0} =E_{Z0} =E_{0} , \\ H_{X0} =H_{Y0} =H_{Z0} =H_{0} , \\ d=\alpha_{0} =\beta_{0} =0, \\ n_{X} =n_{Y} =n_{Z} =n,\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(30)} \hfill \\\end{array} } \\ \frac{2n^{2}}{\omega^{2}}=\varepsilon \mu . \\ \end{array}\]

Рассмотрим функцию (27) как два варианта преобразования системы координат. Первый из них соответствует преобразованию листа малой переменной на лист малой переменной [2]:

(31):

    \[i\cdot x+j\cdot y+k\cdot z+I\cdot t=\lambda \to {\lambda }'=\]

    \[\begin{array}{l} =i\cdot \left( {x(-ax-by-cz-dt)-z(az-cx)+y(bx-ay)-t(dx+at)} \right)+ \\ +j\cdot \left( {y(-ax-by-cz-dt)+z(cy-bz)-x(bx-ay)-t(dy+bt)} \right)+{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(31)} \hfill \\\end{array} } \\ +k\cdot \left( {z(-ax-by-cz-dt)-y(cy-bz)+x(az-cx)-t(dz+ct)} \right)+ \\ +I\cdot \left( {t(-ax-by-cz-dt)-x(dx+at)-y(dy+bt)-z(dz+ct)} \right)+ \\ \end{array}\]

Второй вариант преобразования соответствует преобразованию листа малой переменной на  лист большой переменной [2]:

(32):

    \[i\cdot x+j\cdot y+k\cdot z+I\cdot t=\lambda \to {\Lambda }'=\]

    \[=-x(cy-bz)-y(az-cx)-z(bx-ay)+\]

    \[+Ii\cdot \left( {t(cy-bz)+y(dz+ct)-z(dy+bt)} \right)+\mbox{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(32)} \hfill \\\end{array} }\]

    \[+Ij\cdot \left( {t(az-cx)+z\left( {dx+at} \right)-x(dz+ct} \right))+\]

    \[+Ik\cdot \left( {t(bx-ay)-y(dx+at)+x(dy+bt)} \right).\]

На основе квадратичных преобразований (31) и (32) возможно получение  новых решений системы уравнений Максвелла. В качестве примера запишем показательные функции

(33):

    \[F_{1} (\lambda )=\exp ({\lambda }'),{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(33)} \hfill \\\end{array} }\]

(34):

    \[F_{2} (\lambda )=\exp ({\Lambda }').{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(34)} \hfill \\\end{array} }\]

Представляя показательные функции (33) и (34) аналогами формулы Эйлера [2] (21), с учетом значений штрихованных переменных (31) и (32), получим покомпонентное представление функций F1 и F2. В этом случае компоненты электромагнитного поля записываются в конечном разделенном виде. Свойства решений (33) и (34) (и (28)) требуют отдельного рассмотрения. Здесь заметим, что эти решения не стационарны – все компоненты и характеристики смещаются во времени. Определение граничных условий для функций (33) и (34) позволяет определить поверхности выполненных граничных условий [5], вдоль которых возможно выкладывание проводящих поверхностей. Граничные условия определяются  из следующих уравнений для функции (33):

(35):

    \[\left\{ {\begin{array}{l} \left( {x(-ax-by-cz-dt)-z(az-cx)+y(bx-ay)-t(dx+at)} \right)=m_{X} \pi x, \\ \left( {y(-ax-by-cz-dt)+z(cy-bz)-x(bx-ay)-t(dy+bt)} \right)=m_{Y} \pi y,{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(35)} \hfill \\\end{array} } \\ \left( {z(-ax-by-cz-dt)-y(cy-bz)+x(az-cx)-t(dz+ct)} \right)=m_{Z} \pi z. \\ \end{array}} \right.\]

Для функции (34) граничные условия будут аналогичными с учетом (32):

(36):

    \[\left\{ {\begin{array}{l} \left( {t(cy-bz)+y(dz+ct)-z(dy+bt)} \right)=m_{X} \pi x, \\ (t(az-cx)+z(dx+at)-x(dz+ct))=m_{Y} \pi y, \\ (t(bx-ay)-y(dx+at)+x(dy+bt))=m_{Z} \pi z. \\ \end{array}} \right.{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(36)} \hfill \\\end{array} }\]

Как видно из (35) и (36), поверхности будут смещаться во времени, т.к. зависят от t как от параметра. Следовательно, граничные условия, выполненные в один момент времени, не будут выполняться  через некоторое время. Поэтому выполнение граничных условий можно считать выполненными только условно (приближенными) или в фиксированный момент времени. Через некоторый промежуток времени граничные условия могут выполниться снова. Вследствие этого электромагнитное поле при выполнении граничных условий будет распространяться в  таком волноводе с малым затуханием, а при их нарушении – с большим. Это должно приводить к амплитудной модуляции электромагнитного поля.

Описанное решение позволяет точно рассчитать электромагнитное поле вблизи поверхности 2-го порядка.

Аналогично выше изложенному, можно получить покомпонентное представление других функций целой степени n, например, вида:

(37):

    \[f(\lambda )=\lambda^{n}(\lambda A).{\begin{array}{*{20}c} \hfill & {(37)} \hfill \\\end{array} }\]

Такие решения хотя и достаточно громоздки, но могут быть получены в конечном виде.

Описанный метод получения 3-D-решений путем использования сложных М-функций и преобразований систем координат позволяет получать новые преобразования и решения системы уравнений Максвелла и расширяет возможности их точного расчета. В том случае, когда эти преобразования обратимы, повторное применение  прямого и обратного преобразования эквивалентно единичному преобразованию. В этом случае такое преобразование образует группу преобразований [5]. Так как предложенные преобразования почти всегда обратимы, то они увеличивают число собственных групповых преобразований системы уравнений Максвелла. Это позволяет неограниченно расширять число точных решений системы уравнений Максвелла.

 

 

Литература:

  • Никольский Н.Н. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978. – 543 с.
  • Кравчик Ю.С. Обобщение комплексных чисел и их применение в электродинамике // Праці УНДІРТ. – 2003. — №4(36).
  • Кравчик Ю.С. Метод введения неэлектромагнитных полей в электромагнитную теорию Максвелла // ПраціУНДІРТ. – 2002. — №1(29). – С 52 – 57.
  • Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1982. – 488 с.
  • Кравчик Ю. С. Применение группового двумерного преобразования для получения Т- решений однородной системы уравнений Максвелла // Mat. The science: theory and practice 2005. V.26. Science. Pb. House. Praga, 2005 – с 31-34.
  • Фушич В.И., Никитин Ф.Г. Симметрия уравнений Максвелла. – Киев: Наукова думка, 1983. – 200 с.